Question

Log de base 5 (X) + log de base X (5) = 10/3

Answer 1

Para resolver primeiramente é necessário manipular a equação para uma melhor simplificação: 
$log_5(x)+log_x(5)= \frac{10}{3} \\ \frac{log(x)}{log(5)}+ \frac{log(5)}{log(x)}= \frac{10}{3}\\ \frac{log^{2}(x)+log^{2}(5)}{log(x).log(5)} = \frac{10}{3} \\ \\ 3(log^{2}(x)+log^{2}(5))=10.log(x).log(5)\\ 3log^{2}(x)-10log(x).log(5)+3log^{2}(5)=0$

Após chegar nesse ponto irei substituir log(x) por "Y", com isso temos uma equação do segundo grau:

$3Y^{2}-10log(5)Y+3log^{2}(5)=0$

Nesse caso temos a=3 b=-10log(5) c= 3log^2

Usando a fórmula de bhaskara temos:
$delta= (-10log(5))^{2}-4.3.3log^{2}(5)\\ delta=100log^{2}(5)-36log^{2}(5)\\ delta=64log^{2}(5)\\ \\ Y= \frac{-b ^{+} _- \sqrt[]{delta} }{2a} \\ Y= \frac{-(-10log(5)) ^{+} _- \sqrt{64log^{2}(5)}}{2.3} \\ Y= \frac{10log(5) ^{+} _- 8log(5)}{6} \\ Y'= 3log(5)\\ Y''= \frac{log(5)}{3}$(5)

Após achar os 2 possíveis valores para log(x), basta substituir para saber os 2 valores de x:

$log(x)=3log(5)\\ log(x)=log( 5^{3} )\\ x'=5^{3}\\ x'=125\\ \\ log(x)= \frac{1}{3} log(5) \\ log(x)=log( 5^{ \frac{1}{3} } )\\ x''= \sqrt[3]{5}$

Pronto existem 2 valores de x que satisfazem a equação. Espero ter ajudado.