Question

log (3x-7) base 2 - 2 log base 2 (x-1) = -1

Answer 1

Resposta:

S = { 5 , 3 }

Explicação passo-a-passo:

$log_2\: (3x-7) - 2\: log_2\: (x - 1) = -1$

$\boxed{\frac{(3x - 7)}{(x - 1)^2} = \frac{1}{2}}$

6x - 14 = x^2 - 2x + 1

x^2 -8x + 15 = 0

Δ = 4

x' = ( 8 + 2 ) / 2 = 5

x'' = ( 8 - 2 ) / 2 = 3

Answer 2

Para resolver usaremos as propriedades de logaritmo. Sabemos que:

• $log \ x^y = y \cdot log \ x$

• $log \ x - log \ y = log \ \frac{x}{y}$

Assim vamos resolver:

$log_2 (3x-7) - 2log_2 (x-1) = -1$

Usamos a primeira propriedade no segundo logaritmo para voltar o número 2 para o expoente do logaritmando.

$log_2 (3x-7) - log_2 (x-1)^2 = -1$

Depois, vamos unir os dois logaritmos em uma divisão:

$log_2 \dfrac{(3x-7)}{(x-1)^2} = -1$

Agora vamos aplicar a definição de logaritmo:

$\dfrac{(3x-7)}{(x-1)^2} = 2^{-1}$

$\dfrac{(3x-7)}{(x-1)^2} = \dfrac12$

Multiplicando cruzado e realizando o produto notável encontramos:

$x^2 - 2x + 1 = 6x - 14\\x^2 -2x - 6x + 1 + 14 = 0\\x^2 - 8x + 15 = 0$

Para achar x temos que resolver a equação do 2º grau, dá pra usar Bhaskara, mas eu vou fazer por soma e produto por achar que vai ficar mais simples e rápido de resolver:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 15 \end{cases}$

Queremos dois números que quando somados dão 8 e multiplicados são 15, logo eles são: $x_1 = 3$ e $x_2 = 5$.

Resposta: x = 3 ou x = 5.

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