Question

Log (3x-4) - Log (2x-1) > 1

PS: Os dois logarítmos estão na base 3

Answer 1

Resposta:

Log₃ (3x-4) - Log₃ (2x-1) > 1

Log₃ (3x-4) - Log₃ (2x-1) > Log₃ 3

Log₃ (3x-4) - Log₃ (2x-1) -Log₃ 3 > 0

Log₃ (3x-4)/ (2x-1) -Log₃ 3 > 0

Log₃ (3x-4)/ 3(2x-1)  > 0

(3x-4)/ 3(2x-1) > 1⁰

(3x-4)/ 3(2x-1) -1 >0

(3x-4-6x+3)/(3(2x-1) )>0

(-3x-1)/(6x-3)  > 0

p=-3x-1   ...........raiz => -3x-1=0  ==> x= -1/3   ...a=-3 < 0

p++++++++++++++++++++(-1/3)------------------------------

q=6x-3  ................raiz =>6x-3=0 ==>x=1/2 ....a=6>0

q------------------------------(1/2)+++++++++++++++++++++++++

Estudo de sinais:

p+++++++(-1/3)---------------------------------------------------------

q-------------------------------(1/2)+++++++++++++++++++++++++

p/q--------(-1/3)++++++++(1/2)------------------------------------------

-1/3 < x < 1/2 é uma resposta possível

É necessário verificar as condições de existência dos Log

Log[a] b   ...............[a] é a base    ==> a>0   e b>0

a=3 , é maior que zero

3x-4>0 ==> x >4/3   condição 1

2x-1>0 ==> x>1/2     condição 2

Como podemos ver  -1/3 < x <1/2 não  está dentro dos intervalos da condição 1 e nem 2...

Resposta: Não existe resposta possível

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Gibi, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica:

log₃ (3x-4) - log₃ (2x-1) > 1.

ii) Antes de mais nada vamos logo encontrar as condições de existência da expressão logarítmica acima. Como só existe logaritmos de números positivos (>0), então deveremos impor que os logaritmandos (3x-4) e (2x-1) sejam positivos (>0). Assim, fazendo essa imposição, deveremos ter que:

3x-4 > 0 ----- passando "-4" para o 2º membro, temos:

3x > 4 ----- isolando "x", temos:

x > 4/3 -------- esta é uma condição de existência.

e

2x-1 > 0 ---- passando "-1" para o 2º membro, temos:

2x > 1 ----- isolando "x", temos:

x > 1/2 ----- esta é outra condição de existência.

Agora note: entre "x" ser maior que "4/3" e ser maior que "1/2" vai prevalecer a primeira hipótese, pois se "x" terá que ser maior que "4/3", então já o será maior que "1/2". Logo, a única condição de existência será esta:

x > 4/3 ------ Esta deverá ser a única  condição de existência da expressão logarítmica da sua questão.

iii) Agora vamos trabalhar com a expressão logarítmica dada e ver se encontraremos um valor de "x" que satisfaça à condição de existência que acabamos de ver acima  (x > 4/3). A expressão com que vamos trabalhar é esta:

log₃ (3x-4) - log₃ (2x-1) > 1 ------ note que poderemos transformar esta subtração em divisão (é uma propriedade logarítmica). Assim:

log₃ [(3x-4)/(2x-1)] > 1 ----- veja que o "1" que está no 2º membro poderá ser substituído por log₃ (3) , pois log₃ (3) = 1. Assim, fazendo essa substituição, teremos:

log₃ [(3x-4)/(2x-1)] > log₃ (3) ----- como as bases são iguais, então poderemos trabalhar apenas com os logaritmandos. E como a base é maior do que "1", então o sentido da desigualdade permanecerá quando estivermos trabalhando apenas com os logaritmandos. Como o sentido da desigualdade é de MAIOR (>), então este sentido continuará ao trabalharmos apenas com os logaritmandos. Então, fazendo isso, teremos:

(3x-4)/(2x-1) > 3 ----- passando "3" para o 1º membro, teremos:

(3x-4)/(2x-1) - 3 > 0) ----- mmc = (2x-1). Assim, utilizando-o, teremos:

[(3x - 4) - 3*(2x-1)]/ (2x-1) > 0 -----  desenvolvendo, teremos:

[3x- 2 - 6x + 1]/(2x-1) > 0 ------ reduzindo os termos semelhantes:

[-3x - 1]/(2x-1) > 0 ---- agora vamos estudar a variação de sinais de f(x) = -3x-1; e de g(x) = 2x-1. Para isso, encontraremos as raízes de cada uma. Assim:

f(x) = -3x-1 ---> raízes: -3x - 1 = 0 ---> - 3x = 1 ---> 3x = -1 --> x = -1/3.

g(x) = 2x-1 --> raízes: 2x-1 = 0 --> 2x = 1 --> x = 1/2.

Agora vamos estudar a variação de sinais:

a) f(x) = -3x-1... + + + + + + + + (-1/3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

b) g(x) = 2x-1 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  (1/2) + + + + + +

c) a/b .............. - - - - - - - - - --  (-1/3)+ + + + + +(1/2) - - - - - - - - -  

Como queremos que f(x)/g(x) seja maior do que zero (positivo), então só nos interessa o que tiver sinal de MAIS no intervalo visto no item "c" que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim:

-1/3 < x < 1/2 ----- Note que esta seria a resposta. Mas veja que esta resposta não atende à condição de existência imposta, que seria termos isto: x > 4/3. A propósito, atente que "4/3" está fora do intervalo que encontramos aí em cima.

Assim, poderemos afirmar que a equação logarítmica da sua questão não tem resposta no campo dos Reais e por isso terá uma resposta vazia, o que você poderá indicar que o conjunto-solução será:

S = ∅ , ou S = { } .  <----- Estas duas formas são utilizadas quando se quer representar respostas não existentes no campo dos Reais.

Pronto, amigo Einstein, fizemos a edição da nossa resposta, atendendo a um "alerta" seu de que a resposta, embora não atendendo à condição de existência, seria a que você havia encontrado no seu desenvolvimento. De qualquer forma deve ficar patente o seguinte: sempre que tivermos resolvendo uma expressão logarítmica, as condições de existência deverão vir em primeiríssimo lugar, para que uma possível impossibilidade de resolver uma expressão original fique "camuflada" nas utilizações de propriedades logarítmicas.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.