Question

Log_{2}16 - Log_{4}32 e igual a :

Deixem calculos bem explicativos por favor

Answer 1

Boa noite!

Existem dois modos de resolver essa questão. Para que você entenda o raciocínio de qualquer problema semelhante, vou explicar os dois.


I) Calculando os logaritmos de forma separada

Como está escrito, podemos calcular cada logaritmo de forma independente, e assim resolver o problema:

Apenas lembrando a definição de logaritmo:  $\boxed{\log_ab=c \ \Rightarrow \ \ a^c=b}$

Calculamos o primeiro:

$\log_216=x\ \iff \ \ 2^x=16 \iff \ \ 2^x=2^4 \ \iff \boxed{x=4}$


O segundo:

$\log_432=y \iff \ 4^y=32 \iff 2^{2y}=2^5 \iff \ 2y=5 \ \iff \boxed{y=\dfrac{5}{2}}$

Fazemos a subtração:

$4-\dfrac{5}{2}=\dfrac{8-5}{2}=\boxed{\dfrac{3}{2}}$

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II) Aplicando as propriedades e consequências para simplificar os cálculos

Desde já eu aviso, apesar de parecer complicado, você deve dominar todas as propriedades de logaritmo; Não deixe de usá-las, pois elas poupam um bom tempo em vários exercícios.

Para esse problema, essas duas bastam
$\boxed{\log_ab^n=n\cdot \log_ab}$

$\boxed{\log_{a^c}b=\dfrac{1}{c}\log_ab}$

$\boxed{\log_aa=1}$
Resolvemos as duas:

$\log_22^4-\log_{2^2}2^5=4\log_22-\dfrac{5}{2}\log_22=4-\dfrac{5}{2}=\boxed{\dfrac{3}{2}}$

É isso. Tirando as definições, a única coisa que usamos foi aritmética básica. Bons estudos!