Question

Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos, formados com os elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, determine a posição ocupada pelo número 64217.

Answer 1

Resposta:

87°.

Explicação passo a passo:

Veja que o número 12467 ocupa a primeira posição e o número 76421 ocupa a última posição, que é a 120° posição.

Vamos calcular quantos números se iniciam por 1:

fixando o 1 na primeira posição, temos quatro algarismos para ocupar a segunda posição, três para ocupar a terceira posição, dois para ocupar a quarta posição e um para ocupar a última posição, então, o princípio multiplicativo nos diz que teremos $4 . 3 . 2 .1 = 4! = 24$ números distintos com o primeiro algarismo sendo 1.

Da mesma forma, temos 24 números começando pelo número 2 e 24 números começando pelo número 4. Então, temos 72 números que começam por 1, 2 ou 4. Assim, o número 61247 ocupará a 73° posição.

Agora, fixando o algarismo 6 na primeira posição e o 1 na segunda posição, veja que temos três algarismos para ocupar a terceira posição, dois para a quarta e um para a quinta. Então, temos $3 . 2 . 1 = 3! = 6$ números com 6 na primeira posição e 1 na segunda.

Da mesma forma, temos 6 números com o algarismo 6 na primeira posição e o 2 na segunda. Então, o número 64127 aparecerá após 72 + 12 = 84 números, ou seja, ocupará a 85° posição.

O número 64172 ocupará 86° posição e o número 64217 ocupará a 87° posição.