Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor: David Zavaleta Villanueva

2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:

C)$Y=x^2\cdot \ln(x)~~~X_0=1$

Answer 1

Usando  a equação fundamental  da reta podemos concluir que a reta tangente a função $Y=x^2\cdot \ln(x)$ no ponto $X_0=1$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{Y=x-1 }} }$

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função

$Y=x^2\cdot \ln(x)$

Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta

• $\large\text{ \boxed{\boxed{Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)}} }$

O primeiro passo é achar o ponto $\left(X_0, Y_0\right)$. Perceba que  a questão nos da o $x_0$ mas não da o $y_0$, então temos que descobrir o seu valor

Como ja temos o $x_0$ basta substituirmos na função e acharemos o $y_0$

$Y=x^2\cdot \ln(x)\\\\Y=1^2\cdot \ln(1)\\\\Y=1\cdot 0\\\\\boxed{Y=0}$^

Agora que temos os pontos $\left(X_0, Y_0\right)\Rightarrow (1,0)$  Basta acharmos o M que é o Coeficiente angular da reta

$\boxed{M=F'(X_0)}$

Para acharmos o Coeficiente angular  da reta Vamos ter que derivar a função e  em seguida substituir X por $x_0$ para isso vamos relembrar algumas regras da derivação

• Regra do produto

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\cdot G(x)\right)= \dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\right)\cdot G(x)+ F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(G(x))\right}$

• Derivada de um Logaritmo Natural.

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(ln(x)\right)= \dfrac{1}{x} }$

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }$

        Com isso em mente vamos achar o Coeficiente angular da reta

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(x^2\cdot \ln(x)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}\left(x^2\right)\cdot \ln(x)+x^2\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(\ln(x)\right) \Rightarrow$



$\large2x\cdot \ln(x)+x^2\cdot\dfrac{1}{x} \Rightarrow\boxed{2x\ln(x)+x}$

Substituindo X por  1 teremos o nosso coeficiente

$2x\ln(x)+x\\\\2\cdot 1\cdot \ln(1)+1\\\\2\cdot 0+1\\\\\boxed{1}$

Então nosso coeficiente é 1   $\boxed{M=1}$

Com isso vamos achar nossa equação da reta tangente

$\largeY-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)\\\\\\\largeY-0=1\cdot \left(X-1\right)\\\\\\\large\boxed{Y= X-1}$

Achamos nossa reta tangente a função