Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

L)
$Y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função $Y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$Y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }$

Para achar a derivada dessa função temos que usar algumas propriedades e regras da derivação

• Regra da cadeia

       $\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }$

• Derivada da raiz quadrada

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x}\right) =\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }$

• Regra do quociente

       $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }$

• Derivada de uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\right)=0 }$

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }$

Com isso em mente vamos resolver a derivada, Perceba que teremos que usar a regra da cadeia

Vamos chamar $\dfrac{x+1}{x-1} =U$ é aplicar

$\large\text{ \dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }\right)\Rightarrow\boxed{\dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{U }\right)\cdot\dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right) } }$

$\large\text{ \dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{U }\right)\cdot\dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{U }}\cdot \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \boxed{\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }}\cdot \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)} }$

Perceba que teremos que fazer uma regra do quociente ainda então vamos fazer ela separadamente depois substituirmos na equação

$\large\text{ \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)\Rightarrow \dfrac{\dfrac{du}{dx}\left(x+1\right)\cdot (x-1)-(x+1)\cdot \dfrac{du}{dx}\left(x-1\right) }{(x-1)^2} }$

$\large\dfrac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1 }{(x-1)^2} \Rightarrow \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} \Rightarrow\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2} \Rightarrow$

$\large\text{ \dfrac{-2}{(x-1)^2}\Rightarrow \boxed{-\dfrac{2}{(x-1)^2}} }$

Substituindo na nossa expressão temos

$\large\text{ \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }}\cdot \dfrac{du}{dx}\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)\Rightarrow\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }}\cdot \dfrac{-2}{(x-1)^2}\Rightarrow }$

$\large\text{ \dfrac{-2}{2\cdot \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} }\cdot (x-1)^2}\Rightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}\Rightarrow }$

$\large\text{ \boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}} }$

Assim concluímos que a derivada da função é

$\large\text{ \boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1} } \cdot (x-1)^2}} }$