Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

G)
$\largeY=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função $Y=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{-\dfrac{4Ln(2)}{xLn^2(x^2)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)}} }$

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$\largeY=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)$

Para conseguirmos derivar essa função temos que usar uma propriedade do Logaritmo

$\large\text{ \boxed{Log_a(b)= \dfrac{Ln(b)}{Ln(a)}} }$

Então vamos reescrever a nossa função

$\large\text{ Y=Log_{x^2}(4)+Log_{-x}(2)\Rightarrow \boxed{Y=\dfrac{Ln(4)}{Ln(x^2)}+\dfrac{Ln(2)}{Ln(-x)}} }$

Agora antes de começarmos a derivar vamos lembrar de algumas propriedades da derivação

• Soma em derivadas

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(F(x)+G(x)\right)= \dfrac{dy}{dx}\left(F(x)\right)+\dfrac{dy}{dx}\left(G(x)\right)}$

• Constante multiplicando uma Variável

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)=C\cdot \dfrac{dy}{dx}(X)}$

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1}}$

• Derivada do LN

      $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(Ln(x)\right)=\dfrac{1}{x} }$

• Regra da cadeia

       $\boxed{\dfrac{dy}{dx} (F(G(X)))'=F'(G(x)\cdotG'(x)}$

• Regra do quociente

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }$

Com isso em mente vamos derivar a função

$\large \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Ln(4)}{Ln(x^2)}+\dfrac{Ln(2)}{Ln(-x)}\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Ln(4)}{Ln(x^2)}\right)+ \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Ln(2)}{Ln(-x)}\right)\Rightarrow$

$\large Ln(4)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{1}{Ln(x^2)}\right)+ \left(Ln(2)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{1}{Ln(-x)}\right)\right)\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{Ln(4)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(x^2)\right)+ \left(Ln(2)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(-x)\right)\right)} }$

Temos que resolver essas duas derivadas, para isso utilizaremos a regra da cadeia. Perceba que teremos que usar duas vezes a regra da cadeia

Vamos resolve-las separadamente

$U=Ln(x^2) ~~ Y=x^2$

 $\large \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(x^2)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{du}(U^{-1})\cdot \dfrac{du}{dx}(Ln(x^2) \Rightarrow$

$\large -1U^{-2} \cdot \dfrac{du}{dy}(Ln(y)\cdot \dfrac{\\dy}{dx}(x^2) \Rightarrow-1U^{-2} \cdot \dfrac{1}{Y} \cdot 2x\Rightarrow$

$\large-1\cdot (Ln(x^2)^{-2}\cdot\dfrac{1}{x^2} \cdot 2x\Rightarrow \dfrac{-2x}{x^2\cdot Ln(x^2)^2}\Rightarrow \dfrac{-2x}{x^2\cdot Ln^2(x)^2}\Rightarrow$

$\large\text{ -\dfrac{2}{x\cdot Ln^2(x^2)}\Rightarrow \boxed{-\dfrac{2}{xLn^2(x^2)} } }$

Agora vamos achar a outra derivada

$U=Ln(-x) ~~ Y=-x$

$\large \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(-x)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{du}(U^{-1})\cdot \dfrac{du}{dx}Ln(-x) \Rightarrow$

$\large -1U^{-2} \cdot \dfrac{du}{dy}(Ln(y)\cdot \dfrac{\\dy}{dx}(-x) \Rightarrow-1U^{-2} \cdot \dfrac{1}{Y} \cdot -1\Rightarrow$

$\large\text{ -1\cdot (Ln(-x)^{-2}\cdot\dfrac{1}{-x} \cdot -1\Rightarrow \boxed{\dfrac{-1}{ xLn^2(-x)}} }$

Substituindo na  nossa expressão temos

$\large Ln(4)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(x^2)\right)+ \left(Ln(2)\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(Ln^{-1}(-x)\right)\right)$

$\large Ln(4)\cdot -\dfrac{2}{xLn^2(x^2)} + \left(Ln(2)\cdot \dfrac{-1}{ xLn^2(-x)}\right)\Rightarrow$

$\large\text{ -\dfrac{2Ln(2)\cdot 2}{xLn^2(x)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)\Rightarrow \boxed{-\dfrac{4Ln(2)}{xLn^2(x^2)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)} }$

Portanto a derivada da função é $-\dfrac{4Ln(2)}{xLn^2(x^2)} - \dfrac{Ln(2)}{ xLn^2(-x)}\right)$