Question

Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite trigonometrico

2)

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen^2(2x)}{Sen^2(3x)} \right)$

Answer 1

Utilizando  o limite fundamental da trigonometria podemos concluir que  quando X tende a 0 a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{4}{9} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\lim _{x\to 0}\left(\frac{ Sen^2\left(2x\right)}{Sen^2\left(3x\right)}\right)$

Perceba que se substituirmos X por 0 esse limite tende uma indeterminação

$\large\lim _{x\to 0}\left(\frac{ Sen^2\left(2x\right)}{Sen^2\left(3x\right)}\right)\Rightarrow\left(\frac{ Sen^2\left(2\cdot 0\right)}{Sen^2\left(3\cdot 0\right)}\right)\Rightarrow \left(\frac{ Sen^2\left(0\right)}{Sen^2\left(0\right)}\right)\Rightarrow \left(\dfrac{0}{0}\right)?$

Então vamos usar alguma propriedade matemática para fazer essa função não tender a uma indeterminação

Primeiro vamos simplificar o limite

$\large\lim _{x\to 0}\left(\frac{ Sen^2\left(2x\right)}{Sen^2\left(3x\right)}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 0}\left(\frac{ Sen\left(2x\right)}{Sen\left(3x\right)}\right)\cdot \left(\frac{Sen(2x)}{Sen(3x)} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{\lim _{x\to 0}\left(\frac{ Sen\left(2x\right)}{Sen\left(3x\right)}\right)\cdot\lim_{x\to0} \left(\frac{Sen(2x)}{Sen(3x)} \right)} }$

• pela propriedades dos limites podemos separar esse limite em dois

Agora vamos usar o limite fundamental da trigonometria

• $\large\text{ \boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{Sen(x)}{x} =1} }$

Para aparecer o limite fundamental vamos multiplicar  cada  numerador e denominador pelo argumento do seno em cima e embaixo para não alterar a função

$\large\lim _{x\to 0}\left(\frac{ Sen\left(2x\right)}{Sen\left(3x\right)}\right)\cdot\lim_{x\to0} \left(\frac{Sen(2x)}{Sen(3x)} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ Sen\left(2x\right)\cdot \frac{2x}{2x} }{Sen\left(3x\right)\cdot \frac{3x}{3x} }\right)\cdot\lim_{x\to0} \left(\dfrac{Sen(2x)\cdot \frac{2x}{2x}}{Sen(3x)\cdot \frac{3x}{3x}} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2x\cdot\frac{Sen\left(2x\right) }{2x} }{ 3x\cdot\frac{Sen\left(3x\right) }{3x} }\right)\cdot\lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2x\cdot\frac{Sen\left(2x\right) }{2x} }{ 3x\cdot\frac{Sen\left(3x\right) }{3x} }\right)\Rightarrow }$

$\large \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2x\cdot 1}{ 3x\cdot1 }\right)\cdot \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2x\cdot 1}{ 3x\cdot1 }\right)\Rightarrow$

$\large \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2x}{ 3x }\right)\cdot \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2x}{ 3x}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2}{ 3 }\right)\cdot \lim _{x\to 0}\left(\dfrac{ 2}{ 3}\right)\Rightarrow$

$\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3} =\boxed{\dfrac{4}{9} }$

Ou seja,  quando X tende a 0 a função tenderá para $\dfrac{4}{9}$

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