Question

Lista de exercícios V sobre limite de funções

David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

$\large\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x+x^2+.~ .~ .+x^n-n}{x-1} \right)$

Answer 1

Usando o conceito da soma dos termos de uma P.A e fatoração, podemos concluir que quando X tende a 1 a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?  

Temos o seguinte limite

$\large\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x+x^2+.~.~. ~x^n-n}{x-1} \right)$

Onde N vai ser o número de termos de X

Para resolver essa questão precisamos saber alguns produtos notáveis

$(x^2-1)= (x-1)\cdot (x+1)$

$(x^3-1)=(x-1)\cdot (x^2+x+1)$

$(x^4-1)=(x-1)\cdot (x^3+x^2+x+1)$

$(x^5-1)=(x-1)\cdot (x^4+x^3+x^2+x+1)$

Logo por indução podemos concluir que

$\boxed{(x^n -1)=(x^{n-1}+n^{n-2}+n^{n-3}.~.~.~x^2+x+1)}$

Voltando para o limite ja que N vai ser um número inteiro negativo podemos reescreve-lo como uma soma de  $-1$. Veja os exemplos a seguir:

$-3= (-1-1-1)\\\\-5= (-1-1-1-1-1)\\\\-10=(-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1)\\\\\boxed{-N= (-1-1-1-1~.~.~.~-1)}$

Então podemos reescrever o limite da seguinte forma

$\large\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x+x^2+.~.~. ~x^n-n}{x-1} \right)\Rightarrow$

$\large\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x+x^2+.~.~. ~x^n+(-1-1-1~.~.~.~-1)}{x-1} \right)\Rightarrow$

Como na adição e na subtração a ordem não alterar o resultado  $\boxed{x+x^2+x^3-1-1-1= x-1+x^2-1+x^3-1}$

Com isso em mente podemos reescrever o limite da seguinte forma

$\large\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x+x^2+.~.~. ~x^n+(-1-1-1~.~.~.~-1)}{x-1} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x-1+x^2-1+.~.~. ~x^n-1}{x-1} \right)\Rightarrow } }$

Perceba que agora teremos $(x-1)$ em todos os termos do numerador por causa dos produtos notáveis

$(x-1)=(x-1)$

$(x^2-1)= (x-1)\cdot (x+1)$

$(x^3-1)=(x-1)\cdot (x^2+x+1)$

$(x^4-1)=(x-1)\cdot (x^3+x^2+x+1)\\\\(x^n-1)=(x-1)\cdot (x^{n-1}+x^{n-2}.~. ~. ~x^2+x+1)$

Então podemos colocar $(x-1)$ em evidencia

$\largelim_{x\to1}\left(\dfrac{x-1+x^2-1+.~.~. ~x^n-1}{x-1} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{x-1+(x-1)\cdot (x+1)+.~.~. ~(x-1)(x^{n-1}+.~.~. x^2+x+1)}{x-1} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{(x-1)\cdot \left(1+ (x+1)+(x^2+x+1).~.~. ~(x^{n-1}+.~.~. x^2+x+1\right)}{x-1} \right)\Rightarrow }$

Agora podemos simplificar $(x-1)$ em cima e embaixo e assim o termo que causava indeterminação some. Então podemos substituir X por 1

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{(x-1)\cdot \left(1+ (x+1)+(x^2+x+1).~.~. ~(x^{n-1}+.~.~. x^2+x+1\right)}{x-1} \right)\Rightarrow }\\\\\\\large\lim_{x\to1}\left(1+(x+1)+(x^2+x+1).~.~.~(x^{n-2}+x^{n-1}.~.~. x^2+x+1\right)\\\\\\\large\left(1+(1+1)+(1^2+1+1).~.~.~(1^{n-2}+1^{n-1}.~.~. 1^2+1+1\right)\\\\\\\large\boxed{\left(1+2+3+.~. ~.~+n\right)}$

Ou seja o valor do Limite vai ser a soma de  uma P.A ate N, e podemos escrever a soma de uma P.A por.

$S_m=\dfrac{(A_N+A_1)\cdot n}{2}$

Onde:

$S_m=Soma \\\\A_n=Ultimo~ termo\\\\n= n\acute{u}mero~de~termos\\\\A_1= Primeiro~termo$

Como o ultimo termo da P.A vai ser igual ao número de termos podemos reescrever nossa expressão como

$\large\text{ \left(1+2+3+.~.~. ~+n\right)\Rightarrow \boxed{ \dfrac{n\cdot (n+1)}{2}} }$

Assim concluímos que quando X tende a 1  a nossa função tende para $\boxed{ \dfrac{n\cdot (n+1)}{2}}$

Aprenda mais sobre limites aqui:

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