Question

Lista de exercícios V
Professor David Zavaleta Villanueva

Limites trigonométricos

7)
Lim Cos(x)/ (raiz cubica de x-pi/2)
x->pi/2

$\large\text{ \lim_{x\to \frac{\pi }{2} } \left(\dfrac{Cos(x)}{\sqrt[3]{x-\frac{\pi }{2} } } \right) }$

Answer 1

Usando propriedades trigonométricas podemos concluir que quando X tende a $\dfrac{\pi }{2}$ a função tenderá para 0

$\Large\text{ \boxed{\boxed{0}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?
  

Temos o seguinte Limite

$\large\text{ \lim _{x\to \frac{\pi }{2}}\left(\dfrac{Cos\left(x\right)}{\sqrt[3]{x-\frac{\pi }{2}}}\right) }$

Perceba que se substituirmos X por $\dfrac{\pi }{2}$ teremos uma indeterminação. então vamos usar alguma propriedade matemática para a função não tender a uma indeterminação

Vamos usar a técnica da troca de variável. onde vamos chamar tal termo de uma nova incógnita  

Para facilitar a conta vamos chamar $x-\dfrac{\pi }{2}$ de $Y^3$

$X-\frac{\pi }{2} =Y^3$

Mas. Lembre-se que temos que mudar todas as variaveis ao fazermos isso

Então teremos

$X-\frac{\pi }{2} =Y^3\\\\X=Y^3+ \frac{\pi }{2}$

E o limite quando X tende a $\dfrac{\pi }{2}$ será

$X=Y^3+ \dfrac{\pi }{2}\\\\\\\dfrac{\pi }{2}=Y^3+\dfrac{\pi }{2}\\\\\\Y^3=0\\\\\\Y=\sqrt[3]{0}\\ \\\\\boxed{Y=0}$

Então nosso limite ficará assim

$\large\text{ \lim _{x\to \frac{\pi }{2}}\left(\dfrac{Cos\left(x\right)}{\sqrt[3]{x-\frac{\pi }{2}}}\right)\Rightarrow\boxed{\lim _{y\to 0}\left(\dfrac{Cos\left(y^3+\frac{\pi }{2} \right)}{\sqrt[3]{y^3}}\right)} }$

Agora basta resolvermos o nosso limite

$\large\text{ \lim _{y\to 0}\left(\dfrac{Cos\left(y^3+\frac{\pi }{2} \right)}{\sqrt[3]{y^3}}\right)\Rightarrow \lim _{y\to 0}\left(\dfrac{Cos\left(y^3+\frac{\pi }{2} \right)}{y}\right)\Rightarrow }$

Utilizando a propriedade  $\boxed{Cos(a+b)= Cos(a)\cdot Cos(b)-Sen(a)\cdot Sen(b)}$

Temos

$\large\text{ \lim _{y\to 0}\left(\frac{Cos\left(y^3+\frac{\pi }{2} \right)}{y}\right)\Rightarrow\lim _{y\to 0}\left(\frac{Cos(y^3 )\cdot Cos(\frac{\pi }{2})-Sen(y^3)\cdot Sen(\frac{\pi }{2}) }{y}\right)\Rightarrow }$

$\large\lim _{y\to 0}\left(\frac{Cos(y^3 )\cdot0-Sen(y^3)\cdot 1 }{y}\right)\Rightarrow \lim _{y\to 0}\left(\frac{0-Sen(y^3) }{y}\right)$

$\large\text{ \lim _{y\to 0}\left(\frac{Sen(y^3) }{y}\right)\Rightarrow\lim _{y\to 0}\left(\dfrac{Sen(y^3)\cdot \frac{y^3}{y^3} }{y}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{y\to 0}\left(\dfrac{y^3\cdot \frac{Sen(y^3)}{y^3} }{y}\right)\Rightarrow\lim_{y\to 0}\left(\frac{y^3}{y} \right)\Rightarrow \lim_{y\to0}(y^2)\Rightarrow 0^2\Rightarrow \boxed{0} }$

Assim concluímos que quando a  variável tende a $\dfrac{\pi }{2}$ a função tende a 0

Link com questões da lista para você estudar mais:

1) brainly.com.br/tarefa/54066896

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