Question

Lista de exercícios V

Professor David Zavaleta Villanueva



Limites trigonométricos


6)

limx-> (cos(mx)-cos(nx))/tg²2(x)


$\Large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Cos(mx)-Cos(nx)}{tan^2(x)}\right)$

Answer 1

Usando a diferença entre Cossenos  e o limite fundamental da trigonometria. Podemos concluir que , quando X tende a 0 a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{n^2-m^2}{2}}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Cos(mx)-Cos(nx)}{Tan^2(x)}\right)$

Perceba que se substituirmos X por 0 temos uma indeterminação na função

Então temos que usar alguma propriedade matemática para fazer essa função não cair em uma indeterminação

Veja que no numerador da função temos uma diferença entre dois Cossenos. Então, podemos usar a seguinte propriedade trigonométrica

$\boxed{Cos(a)-Cos(b)=2\cdot Sen\left(\frac{a+b}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{b-a}{2} \right)}$

Vamos reescrever  o Limite

$\large\lim_{x\to0}\left(\frac{Cos(mx)-Cos(nx)}{Tan^2(x)}\right)\Rightarrow$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{2\cdot Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Tan^2(x)}\right)\Rightarrow }$

Agora vamos desenvolver o Limite, Lembre-se que Tan²(x) é igual a $\dfrac{Sen^2(x)}{Cos^2(x)}$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{2\cdot Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Tan^2(x)}\right)\Rightarrow }\\\\\\\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{2\cdot Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{\frac{Sen^2(x)}{Cos^2(x)} }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{2\cdot Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)\cdot Cos^2(x)}{Sen^2(x) }\right)\Rightarrow }$

Podemos colocar as constantes é o limites que não geram indeterminação separadamente pelas propriedades de limite

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{2\cdot Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)\cdot Cos^2(x)}{Sen^2(x) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot \lim_{x\to0}(Cos^2(x))\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Sen^2(x) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot (Cos^2(0))\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Sen^2(x) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot 1\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{ Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Sen^2(x) }\right)\Rightarrow }$

Podemos separar esse limite em dois  é aplicar a seguinte propriedade fundamental do limite trigonométrico

$\boxed{\lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(ax)}{x}\right)=a}$

Com isso em mente vamos lá

$\large\text{ 2\cdot 1\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{ Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Sen^2(x) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{ Sen\left(\frac{mx+nx}{2} \right)}{Sen(x) }\right)\cdot \lim_{x\to0}\left(\dfrac{ Sen\left(\frac{nx-mx}{2} \right)}{Sen(x) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{ Sen\left(x\cdot \frac{m+x}{2} \right)}{Sen(x) }\right)\cdot \lim_{x\to0}\left(\dfrac{ Sen\left(x\cdot\frac{n-m}{2} \right)}{Sen(x) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot \dfrac{m+n}{2}\cdot \dfrac{n-m}{2} \Rightarrow (m+n)\cdot \dfrac{n-m}{2} \Rightarrow \frac{(m+n)\cdot (n-m)}{2} \Rightarrow \boxed{\frac{n^2-m^2}{2}} }$

Assim concluímos que quando X tende a 0 a função tenderá para $\dfrac{n^2-m^2}{2}$

Link com questões da lista para você estudar mais :

1) brainly.com.br/tarefa/54066896

2)brainly.com.br/tarefa/54067176

3)brainly.com.br/tarefa/54067508

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