Question

Lista de exercícios V

Professor David Zavaleta Villanueva


Limites trigonométricos

5)

$\large\lim_{x\to5}\left(\dfrac{Tg(x)-Tg(5)}{x-5}\right)$

Answer 1

Usando a diferença entre duas Tangentes e o limite fundamental da trigonometria. Podemos concluir que quando X tende a 5 a função tende a

$\boxed{\boxed{\frac{1}{Cos^2(5)} }}$

Mas, como chegamos nesse resultado?

Temos o seguinte limite:

$\large\lim _{x\to 5}\left(\frac{Tg \left(x\right)-Tg\left(5\right)}{x-5}\right)$

Quando Substituirmos X por 5 perceba que a função tende a uma indeterminação

$\large\lim _{x\to 5}\left(\frac{Tg \left(x\right)-Tg\left(5\right)}{x-5}\right)\Rightarrow \dfrac{Tg(5)-Tg(5)}{5-5}\Rightarrow \dfrac{0}{0}?$

Então vamos usar alguma propriedade matemática para fazer essa função não tender a uma indeterminação

Perceba que no Numerador temos uma diferença de Tangentes . E a diferença de Tangentes é dada pela seguinte relação trigonométrica

$\large\text{ \boxed{Tg(a)-Tg(b)=\dfrac{Sen(a-b)}{Cos(a)\cdot Cos(b)} } }$

Então vamos reescrever o limite da seguinte forma

$\Large\text{ \lim _{x\to 5}\left(\frac{Tg \left(x\right)-Tg\left(5\right)}{x-5}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 5}\left(\dfrac{\frac{Sen(x-5)}{Cos(x)\cdot (5)} }{x-5}\right)\Rightarrow }$

$\Large\lim_{x\to5}\left(\frac{Sen(x-5)}{(Cos(x)\cdot Cos(5))\cdot(x-5)}\right) \Rightarrow$

$\Large \lim_{x\to5}\left(\frac{Sen(x-5)}{x-5} \right)\cdot \lim_{x\to5}\left(\frac{1}{Cos(x)\cdot Cos(5)} \right)\Rightarrow$

Aplicando o limite fundamental $\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(x)}{x}\right)=1$ temos

$\Large \lim_{x\to5}\left(\frac{Sen(x-5)}{x-5} \right)\cdot \lim_{x\to5}\left(\frac{1}{Cos(x)\cdot Cos(5)} \right)\Rightarrow$

$\Large 1\cdot \lim_{x\to5}\left(\frac{1}{Cos(x)\cdot Cos(5)} \right)\Rightarrow 1\cdot\left(\frac{1}{Cos(5)\cdot Cos(5)} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ 1\cdot\left(\frac{1}{Cos^2(5)} \right)\Rightarrow\boxed{\dfrac{1}{Cos^2(5)}} }$

Assim concluímos que  quando X tende a 5 a função tenderá para

$\boxed{\dfrac{1}{Cos^2(5)}}$

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