Question

Lista de exercícios V
Professor David Zavaleta Villanueva

Limites trigonometricos

1)
$\Large\lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(3x)}{x} \right)$

Answer 1

Usando as propriedades do limite fundamental da trigonometria podemos concluir que quando X tende a 0 a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{3}} }$

Mas, como chegamos na sua reposta?

Temos o seguinte limite

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)$

Perceba que quando  substituirmos X por 0 a função tende a uma indeterminação

$\large\lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(3x)}{x} \right)\Rightarrow \frac{Sen(3\cdot 0)}{0}\Rightarrow \frac{Sen(0)}{0}\Rightarrow \dfrac{0}{0} ?$

Para responder essa questão podemos uma propriedade de limites trigonométricos

$\Large\text{ \boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{Sen(A\cdot X)}{X} \Rightarrow A} }$

Perceba que nossa questão é exatamente igual a essa propriedade

Basta dizermos que 3 é igual a A

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)\Rightarrow 3$

Outro jeito de fazer essa questão é usando o limite trigonométrico fundamental

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(x)}{x} \right)=1$

Então basta usarmos alguma propriedade matemática que faça o nosso limite aparecer esse limite trigonométrico fundamental

Podemos multiplicar o limite por $\dfrac{3}{3}$ pois assim não estamos alterando nada na função e aparecerá o limite trigonométrico fundamental

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)\Rightarrow \large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)\cdot \dfrac{3}{3} }$

$\large\text{ \large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{3\cdot Sen(3x)}{3x} \right)\Rightarrow 3\cdot \lim_{x\to 0} \left(\dfrac{ Sen(3x)}{3x} \right)\Rightarrow 3\cdot 1\Rightarrow 3 }$

• Note que sempre que o argumento do seno for igual ao denominador podemos dizer que seu limite é 1 pelo limite fundamental da trigonometria

• Como o 3 é uma constante podemos tira ele pra fora do limite como eu fiz na questão

Assim concluímos que quando X tende a 0 a função tenderá para 3