Question

Lista de exercícios- Limites trigonometricos


Calcule o limite abaixo


1D)


$\large\lim_{x\to0}\left(\frac{tan(2x)}{x} \right)$

lim Tan(2x)/x
x->0

Answer 1

Após a realização dos calculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de limites indeterminados que calculando o referido limite obtemos 2✅

Definição de limite

Seja  f uma função  definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o valor de a. A afirmação  $\displaystyle\sf\lim_{x \to a}f(x)=L$ significa que , para cada número positivo $\varepsilon$, há um número positivo $\delta$ tal que $\sf |f(x)-L| < \varepsilon$  sempre que $\sf0 < |x-a| < \delta$.

Limites indeterminados

A discussão anterior serve para nos mostrar que a necessidade de se ter um intervalo aberto contendo um número a excluindo o valor de a é porque existem funções que não estão definidas para todo valor real.

Por exemplo a função definida por $\sf f(x)=tg(x)$ não está definida para $\sf x=\dfrac{\pi}{2}$  e $\sf x=\dfrac{3\pi}{2}$. Portanto existem técnicas que nos permitem ''driblar" as indeterminações. Entre elas estão:

• Conjugado de radical
• fatoração
• produtos notáveis
• divisão de polinômios
• dispositivo prático de Brioft-Ruffini

Limites trigonométricos fundamentais

Demonstra-se que quando t está em radianos os limites abaixo são verdadeiros:

• 1)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{t \to 0}\dfrac{sen(t)}{t}=1\end{array}}$

• 2)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{t \to 0}\dfrac{1-cos(t)}{t}=0\end{array}}$

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui vamos reescrever a função tangente em termos de seno e cosseno

e utilizar os limites trigonométricos vistos anteriormente.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf tan(2x)=\dfrac{sen(2x)}{cos(2x)}\\\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{tg(2x)}{x}\longrightarrow\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{cos(2x)\cdot x}\longrightarrow\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{x}\cdot\dfrac{1}{cos(2x)}\end{array}}$

lembre-se que o limite do produto é igual ao produto dos limites. Desta forma teremos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cos(2x)}\end{array}}$

agora vamos calcular cada limite separadamente:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{x}\longrightarrow\lim_{x \to 0}\dfrac{2\cdot sen(2x)}{2x}\end{array}}$

perceba que 2 é uma constante e como limites, derivadas e integrais são transformações lineares podemos escrever 2 para fora do limite.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf 2\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{2x}\end{array}}$

faça

$\sf t=2x\\\sf t\longrightarrow0\,quando\,x\longrightarrow 0$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf2\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{2x}\longrightarrow 2\lim_{t\to 0}\dfrac{sen(t)}{t}=2\cdot1=2\end{array}}$

isto é

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{x}=2\end{array}}$

agora vamos calcular o outro limite:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cos(2x)}=\dfrac{1}{cos(2\cdot0)}=\dfrac{1}{cos(0)}=\dfrac{1}{1}=1\end{array}}$

portanto

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{tan(2x)}{x}\longrightarrow\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(2x)}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cos(2x)}=2\cdot1=2\end{array}}$

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/34450405

https://brainly.com.br/tarefa/44036885