Question

Lista de exercícios- Limites

Calcule o limite abaixo

B)
$\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x-1}{x^{\frac{1}{3}-1 }} \right)$

Answer 1

Usando a Regra de l'Hôpital podemos concluir que quando a variável X tende a 1 função tende para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{3}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x-1 }{x^{\frac{1}{3} }-1} \right)$

Perceba que ao substituirmos a variável  X por 0 a função tende  a uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$

$\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x-1 }{x^{\frac{1}{3} }-1} \right)\Rightarrow \left(\dfrac{1-1}{1^{\frac{1}{3}}-1 }}\right)\Rightarrow\dfrac{0}{1-1} \Rightarrow \dfrac{0}{0} ?$

Então temos que usar alguma propriedade da matemática que faça essa indeterminação sumir, mas existe um jeito muito menos trabalhoso de fazer esse problema

Usando a regra de Regra de l'Hôpital

• A regra de l´Hôpital serve para resolvermos limites  que tem indeterminação $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, quando dermos de cara com essa indeterminação basta derivarmos todos os membros do numerador e do denominador ate que a indeterminação não exista mais

Agora vamos lembrar de algumas derivadas necessárias para resolver esse problema

• Derivada de uma constate

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (C)= 0}$

• Deriva de uma variável elevada a uma constante

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (X^N)= N\cdot X^{N-1}}$

Com isso em mente vamos derivar o limite

$\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x-1 }{x^{\frac{1}{3} }-1} \right)\Rightarrow \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(x) -\dfrac{dy}{dx}(1) }{\dfrac{dy}{dx}(x^{\frac{1}{3} })-\dfrac{dy}{dx}(1)} \right)$

Vamos fazer cada derivada separadamente

• Derivada de X

$\dfrac{dy}{dx} (x^1)\Rightarrow1\cdot x^{1-1}\Rightarrow 1\cdot x^0\Rightarrow \boxed{1}$

• Derivada de 1

$\dfrac{dy}{dx} (1)=0$      (1 é uma constante, derivada de qualquer constante é 0)

• Derivada de $X^{\dfrac{1}{3} }$

$\dfrac{dy}{dx} (x^{\frac{1}{3} })\Rightarrow\dfrac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} -1}\Rightarrow\dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3} }\Rightarrow\boxed{\dfrac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3}} } }$

Agora basta substituirmos no limite

$\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(x) -\dfrac{dy}{dx}(1) }{\dfrac{dy}{dx}(x^{\frac{1}{3} })-\dfrac{dy}{dx}(1)} \right)\Rightarrow \Large\text{ \lim_{x\to1}\dfrac{1-0}{\frac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3} }}-0 } }$

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\dfrac{1-0}{\frac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3} }}-0 } }\Rightarrow \Large\text{ \boxed{\lim_{x\to1}\dfrac{1}{\frac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3} }}}} }$

Agora que derivamos perceba que não há mais indeterminação podemos substituir X por 1 é ver para onde a função vai tender.

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\dfrac{1}{\frac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3} }}} }\Rightarrow \Large\text{ \dfrac{1}{\frac{1}{3\cdot 1^{\frac{2}{3} }}} }\Rightarrow \Large\text{ \dfrac{1}{\frac{1}{3\cdot 1}} }\Rightarrow \Large\text{ \dfrac{1}{\frac{1}{3}} }\Rightarrow \Large\frac{1}{1}\cdot \frac{3}{1} \Rightarrow \Large\boxed{3}$

Ou seja quando a X tende a 1 a função tenderá  para 3

Perceba na imagem anexada que quando X=1 a função tende a 3 mas é  um ponto aberto porque quando X=1 a função é indefinida

Answer 2

Usando produto notáveis podemos concluir que a variável X  ao tender para 1 faz a função tender para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{3}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{x^{\frac{1}{3} }-1} \right) }$

Bem se substituirmos X por 1 perceba que teremos uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$

Então temos que fazer alguma artimanha matemática para que a função não caia em indeterminação

Perceba que o que causa indeterminação é o $(X-1)$ então temos que de algum jeito simplificar essa expressão. Para isso vamos fatorar essa função usando produtos notáveis

Perceba que o numerador da função ja esta de forma  simplificada $(X-1)$, porem o denominador pode ser fatorado usando o produto notável  da diferença de dois números ao cubo

• Diferença de dois número ao cubo

    $\boxed{A^3-B^3=(A-B)\cdot (A^2+AB+B^2)}$

Primeiro vamos analisar o denominador da função

$\Large\text{ x^{\frac{1}{3}}-1 }$

Para facilitar a nossa conta vamos reescrever Esse $X^{\dfrac{1}{3} }$ como Raiz cubica

      $\boxed{X^{\dfrac{1}{3} }\Rightarrow\sqrt[3]{X} }$

Então temos no denominador $\boxed{\sqrt[3]{X} -1}$ , vamos chamar

$\sqrt[3]{X}\Rightarrow A\\ \\1\Rightarrow B$

E usar produto notável sendo $\boxed{\sqrt[3]{X} -1 = (A-B)}$

Perceba que para conseguimos $A^3-B^3$ precisamos multiplicar o denominador por  $A^2+AB+B^2$ mas se fizermos isso modificaremos a função. então vamos ter que multiplicar em cima e embaixo

Então teremos

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x} -1} \right)\Rightarrow\lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x} -1} \right)\cdot\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 }{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 }\right) }$

Vamos por enquanto só mexer no denominador

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x} -1} \right)\cdot\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 }{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 }\right) \Rightarrow \frac{{(x-1)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2) }}{\sqrt[3]{x^3}-1^3 } }$

$\Large\text{ \boxed{\lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1 )}{(x-1)}} }$

Perceba que temos $(x-1)$ em cima e embaixo da função então podemos simplificar essa expressão por ela mesma e assim  eliminaremos o denominador

então basta substituir X por 1

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1 )}{(x-1)}\Rightarrow\lim_{x\to1} (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1 )\Rightarrow }$

$\Large\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1} +1 \Rightarrow 1+1+1 \Rightarrow \boxed{3}$

Assim concluímos que quando a  variável X tende a 1  a função tenderá a 3

• Cálculos formais

$\lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x} -1} \right)\Rightarrow\lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x} -1} \right)\cdot\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 }{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 }\right) \Rightarrow\\\\\lim_{x\to1}\frac{{(x-1)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2) }}{\sqrt[3]{x^3}-1^3 } \Rightarrow \lim_{x\to1}\frac{(x-1)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1 )}{(x-1)}\Rightarrow\\\\\lim_{x\to1} (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1 )\Rightarrow\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1} +1$

$1+1+1 \Rightarrow \boxed{3}$

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