Question

Lista de exercícios de limites. UFRN
Professor Paulo Roberto

Questão 3 item 6)

$\large\text{ \lim_{x\to 4^{-}}\left(\dfrac{\sqrt[5]{x-4} }{|x-4|^3} \right) }$

Answer 1

Usando fatoração podemos concluir que quando X tende a um número próximo a esquerda de 4 a função tenderá para

$\large\text{\boxed{\boxed{-\infty}}}$

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\dfrac{\sqrt[5]{x-4}}{|x-4|^3}\right) }$

Perceba que temos um modulo no nosso limite, então temos que usar as propriedade do modulo para reescrever nosso limite da maneira correta

$|x|= x ~Se ~x~\geq 0$

$|x| =-x~Se~x < 0$

Reescrevendo para o nosso problema temos

$|x-4|= (x-4) ~Se ~x-4~\geq 0$

$|x-4|= (-x+4) ~Se ~x-4~ < 0$

Como a função tende a um número menor que 4 a expressão resultará em um número menor que 0 então temos que reescrever nosso limite com $(-x+4)$

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\dfrac{\sqrt[5]{x-4}}{|x-4|^3}\right)\Rightarrow \boxed{\lim _{x\to 4^{-}}\left(\dfrac{\sqrt[5]{x-4}}{(-x+4)^3}\right)} }$

racionalizando o limite temos

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{\sqrt[5]{x-4}}{(-x+4)^3}\right)\cdot \frac{\sqrt[5]{(x-4})^4 }{\sqrt[5]{(x-4)^4} }\Rightarrow\lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{\sqrt[5]{x-4}^5}{(-x+4)^3\cdot \sqrt[5]{(x-4)^4} }\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{x-4}{(-x+4)^3\cdot \sqrt[5]{(x-4)^4} }\right) \Rightarrow \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{x-4}{-1\cdot (x-4)\cdot (x-4)^2\cdot \sqrt[5]{(x-4)^4} }\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{1}{-1\cdot (x-4)^2\cdot \sqrt[5]{(x-4)^4} }\right) }$

Agora perceba que se eu substituir X por um número menor do que 4, a função tenderá a um número negativo , e quanto mais eu me aproximar  de 4 pela esquerda mais o número crescerá para baixo. Ou seja quando X tende a um numero a esquerda de 4 a função tende ao menos infinito

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{1}{-1\cdot (x-4)^2\cdot \sqrt[5]{(x-4)^4} }\right)\Rightarrow \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{1}{-1\cdot (3.9-4)^2\cdot \sqrt[5]{(3.9-4)^4} }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{1}{-1\cdot (-0.1)^2\cdot \sqrt[5]{(-0.1)^4} }\right)\Rightarrow }$  

$\large\text{ \lim _{x\to 4^{-}}\left(\frac{1}{-1\cdot 0.01\cdot \sqrt[5]{0.0001} }\right)\Rightarrow \approx -100000 }$

Se o número se aproximar ainda mais de 4 pela esquerda o valor cresce cada vez mais baixo