Question

Lista de Exercícios de limites

Calcule o seguinte limite
A)
$\lim_{x \to5 } \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{x^2-25} \right)$

Answer 1

Usando as propriedades de limites podemos concluir que quando a variável X tende a 5 função tende para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{-\dfrac{1}{40} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\lim_{x \to 5} \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{x^2-25} \right)$

ao substituirmos X por 5 podemos perceber que ocorre uma indeterminação  $\dfrac{0}{0}$

$\lim_{x \to 5} \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{x^2-25} \right)\Rightarrow\dfrac{2-\sqrt{5-1} }{5^2-25} \Rightarrow \dfrac{2-\sqrt{4} }{25-25} \Rightarrow \dfrac{2-2 }{0} \Rightarrow \dfrac{0 }{0}$

Então temos que usar algumas propriedades da matemática  de modo que  consigamos  eliminar essa indeterminação sem que mudemos a função

Podemos fatorar o denominador  por um produto notável bastante conhecido

$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$

Logo temos

$\boxed{(x^2-5^2)=(x+5)\cdot (x-5)}$

• Lembre-se que 25 é a mesma coisa que $5^2$

Então chegamos no seguinte limite

$\boxed{\lim_{x \to 5} \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{(x+5)\cdot (x-5)} \right)}$

Mas infelizmente se substituirmos X por 5 ainda teremos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$

Então vamos  multiplicar essa função pelo seu conjugado (Racionalizar)

$\lim_{x \to 5} \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{(x+5)\cdot (x-5)} \right)\Rightarrow \lim_{x \to 5} \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{(x+5)\cdot (x-5)} \right)\cdot \left(\dfrac{2+\sqrt{x-1} }{2+\sqrt{x-1} } \right)$

note que $(2-\sqrt{x-1}) \cdot( 2+\sqrt{x-1} )$ é a mesma coisa que $(a-b)\cdot (a+b)$ ou seja, um produto notável que vimos lá em cima .

• $(a-b)\cdot (a+b)= a^2-b^2$

Então teremos

$\lim_{x \to 5} \left(\dfrac{2-\sqrt{x-1} }{(x+5)\cdot (x-5)} \right)\cdot \left(\dfrac{2+\sqrt{x-1} }{2+\sqrt{x-1} } \right)\Rightarrow \dfrac{2^2-(\sqrt{x-1} )^2}{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }$

• Por enquanto, não vamos multiplicar as expressões no denominador para não complicar mais ainda o problema

Vamos simplificar o numerador

$\lim_{x\to5}\dfrac{2^2-(\sqrt{x-1} )^2}{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }\Rightarrow \lim_{x\to5}\dfrac{4-(x-1 )}{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }$

$\lim_{x\to5}\dfrac{4-(x-1 )}{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }\Rightarrow \lim_{x\to5}\dfrac{4-x+1 }{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }$

$\boxed{\lim_{x\to5}\dfrac{5-x }{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }}$

Agora Perceba que se substituirmos X por 0 no Limite a função ainda resulta em uma indeterminação $\dfrac{5}{0}$

Perceba que o que causa essa indeterminação é o $(x-5)$ que faz aparecer o 0 no denominador

Seria muito útil se nos simplificarmos essa expressão, perceba que no numerador tem $(5-x)$, se colocarmos -1 em evidencia nessa expressão teremos exatamente a mesma expressão no denominador

$\lim_{x\to5}\dfrac{5-x }{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }\Rightarrow \lim_{x\to5}\dfrac{-1\cdot (-5+x) }{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }$

Agora temos $(x-5)$ em cima e embaixo então podemos simplificar

• Lembre-se que $(-5+x)~e ~(x-5)$ são a mesma coisa escrita em ordem diferente, mas o resultado é o mesmo

$\lim_{x\to5}\dfrac{-1\cdot (-5+x) }{(x+5)\cdot (x-5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) }\Rightarrow \boxed{\lim_{x\to5}\dfrac{-1}{(x+5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) } }$

Agora sim! podemos substituir X por 5 e acharemos o valor que a função tende ao se aproximar de 5

$\lim_{x\to5}\dfrac{-1}{(x+5)\cdot (2+\sqrt{x-1}) } \Rightarrow \dfrac{-1}{(5+5)\cdot (2+\sqrt{5-1}) } \Rightarrow\dfrac{-1}{10\cdot(2+\sqrt{4} )}$

$\dfrac{-1}{10\cdot (2+2)} \Rightarrow\dfrac{-1}{10\cdot 4} \Rightarrow \dfrac{-1}{40}\Rightarrow\boxed{-\dfrac{1}{40} }$

Assim concluímos que a função  tende a $-\dfrac{1}{40}$ quando X tende a 5

• Lembre-se que $-\dfrac{1}{40}= -0{,} 025$

Perceba que no ponto X=5 a função tende a -0,025 mas é um ponto aberto pois quando X=5 a função é indefinida