Question

Limx->2esq 2x^2-3x-5/(2-x)^3

Answer 1

$\underset{x\to 2^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{3}}$


Fazendo $x \to 2^{-},$ chegamos a um limite do tipo $k/0.$ Então devemos estudar o sinal da função

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{3}}$

na vizinhança à esquerda de $2.$


Podemos estudar separadamente o sinal da função que está no numerador e no denominador:

$\bullet\;\; g(x)=2x^{2}-3x-5\\ \\ g(x)=2x^{2}+2x-5x-5\\ \\ g(x)=2x\,(x+1)-5\,(x+1)\\ \\ g(x)=(x+1)\,(2x-5)$


As raízes de $g$ são

$x_{1}=-1\;\text{ e }\;x_{2}=\frac{5}{2}$


E temos que

$g(x)<0,$ para $-1<x<\frac{5}{2}.$


Como $2,$ está neste intervalo, então

$\underset{x \to 2^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,g(x)<0$


$\bullet\;\;h(x)=(2-x)^{3}\\ \\ h(x)=(2-x)^{2}\cdot (2-x)$


Como o fator $(2-x)^{2} \geq 0,$ para qualquer valor de $x,$ então o sinal de $h(x)$ é o sinal do outro fator:

$2-x$


Para $x<2,$ temos que

$2-x>0\;\;\;\Rightarrow\;\;(2-x)^{3}>0$


Então, $h(x)$ é positiva na vizinhança à esquerda de $2.$


Como $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)},$ e na vizinhança à esquerda de $2$

$g(x)<0\\ \\ h(x)>0$


o limite pela esquerda tende ao infinito negativo:

$\underset{x\to 2^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{3}}=-\infty$