Matemática, perguntado por matematicando, 1 ano atrás

Limites não existem.Prove

Anexos:

Lukyo: Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que os limites abaixo não existem:

a) lim (x,y)->(0,0) y/(x^2-y) com y ≠ x^2

b) lim (x,y)->(0,0) (x + y)/(xy) com xy ≠ 0

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
2
a) \underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{y}{x^2-y}

Queremos calcular o limite de

f(x,\,y)=\dfrac{y}{x^2-y}

quando (x,\,y) se aproxima da origem, se o limite existir.
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Tomemos a seguinte curva, cuja imagem está no \mathbb{R}^2:

\bullet~~\gamma_1(t)=(t,\,0)\,,~~~\text{com }t\in\mathbb{R}.\\\\ \bullet~~\gamma_1(0)=(0,\,0)


Como as componentes de \gamma_1(t) são contínuas em t=0, temos que

\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~f(x,\,y)\\\\ \\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(\gamma_1(t))\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(t,\,0)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{0}{t^2-0}\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~0\\\\ =0~~~~~~\mathbf{(i)}
_________________

Tomemos agora outra curva que também passa pela origem:

\bullet~~\gamma_2(t)=(0,\,t),~~~\text{com }t\in\mathbb{R}.\\\\ \bullet~~\gamma_2(0)=(0,\;0)


Novamente, as componentes de \gamma_2(t) são contínuas em t=0. Portanto,

\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~f(x,\,y)\\\\ \\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(\gamma_2(t))\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(0,\,t)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{t}{0^2-t}\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{t}{-t}\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~(-1)\\\\ =-1~~~~~~\mathbf{(ii)}
_________________


Como os limites \mathbf{(i)}\mathbf{(ii)} diferem, logo

\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{y}{x^2-y}

não existe.
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b) \underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x+y}{xy}

f(x,\,y)=\dfrac{x+y}{xy}


Tomemos a seguinte curva parametrizada com imagem no \mathbb{R}^2:

\bullet~~\gamma_3(t)=(t,\,t),~~~\text{com }t\in\mathbb{R}\\\\ \bullet~~\gamma_3(0)=(0,\,0).


Como as componentes da curva são contínuas em t=0, temos que

\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~f(x,\,y)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(t,\,t)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{t+t}{t\cdot t}\\\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2t}{t^2}\\\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2}{t}~~~~~~\mathbf{(iii)}


Esse último limite é de uma variável, e ele próprio não existe, pois

\underset{t\to 0^-}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2}{t}=-\infty\\\\\\ \underset{t\to 0^+}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2}{t}=+\infty\\\\

(os limites laterais diferem)


Sendo assim, o limite

\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x+y}{xy}

não existe.

(Se existisse, \mathbf{(iii)} também existiria...)

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