Question

Limites de continuidade!!!

Answer 1

1)

$\lim\limits_{x\to-1^-} f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+} f(x)\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to-1^-} 2=\lim\limits_{x\to-1^+} ax+b\\ \\ \\ -a+b=2$

2)

$\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+}f(x)\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to 3^-}ax+b=\lim\limits_{x\to 3^+}-2\\ \\ \\ 3a+b=-2$

De las ecuaciones (1) y (2) se deduce que:  $\boxed{a=-1 \wedge b= 1}$

Answer 2

$f(x)=\Bmatrix 2 ,\; se\; x \leq 1\\\\ax+b, \, se -1\ \textless \ x\ \textless \ 3\\\\-2,se x \geq 3 \end$

a função é continua se:
I) f(k) existe

II) lim x->k f(x) existe

III) lim x-> f(x) = f(k)

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em x=1
I) f(-1) = 2

II) para o limite existir em x=-1 os limites laterais tem que ser iguais

pela esquerda quando x<-1 ,f(x)=2
$\lim_{x \to -1^{-1}} (2)= 2$

pela direita de x>-1 f(x)=ax+b-1
$\lim_{x \to -1^{+}} (ax+b) = -a+b$

os limites laterais tem que ser iguais
então
$\boxed{\boxed{-a+b =2}}\to \text{equacao 1}$

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em x=3
I) f(x)=-2

II) pela esquerda quando x< 3 f(x)=ax+b

$\lim_{x \to 3^{-}} (ax+b-1)=3a+b$

pela direita quando x>3 f(x)= -2

$\lim_{x \to 3^{+}} (-2) = -2$

II) os limites laterais tem que ser iguais
$\boxed{\boxed{3a+b = -2}}\to \text{equacao 2}$

caindo no sistema 
$\Bmatrix -a+b=2 \; (I)\\\\3a+b=-2\; (II) \end$

fazendo (II) -(I)
$(3a+b)-(-a+b)=-2-2\\\\4a=-4\\\\\boxed{\boxed{a=-1}}\to \boxed{\boxed{ \, b=1}}$