Question

LIMITES Alguém pode me explicar como se faz essa questão, por favor.

Answer 1

Resposta:

$\Large{\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}=3^{-\frac{5}{3}}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos o limite $\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}$, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Veja que ao testarmos $x=3$ neste limite, nos deparamos com uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$, logo podemos aplicar a regra.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são funções deriváveis e logo, contínuas em $c$. Podemos demonstrar:

Visto que as funções são contínuas, podemos reescrever o limite como:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}=L$

Lembre-se que o critério para a continuidade da função é que $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$, logo $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)-f(c)=0$ e utilizamos a indeterminação para mostrar que:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)-f(c)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)-g(c)}=L$

Dividindo o numerador e o denominador por $x-c$, teremos

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=L$

Pela definição de derivada, enfim teremos

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$

Dessa forma, calcularemos o limite.

Aplique a regra de l'Hôpital

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3})'}{(x-3)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{(\sqrt[3]{x})'-(\sqrt[3]{3})'}{(x)'-(3)'}$

Aplique a regra da potência e da constante, sabendo que $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}-0}{1-0}$

Some os valores

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$

Aplique a propriedade de potência de expoente negativo: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, logo teremos

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}~\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$

Calcule o limite

$\dfrac{1}{3\cdot 3^{\frac{2}{3}}}}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\dfrac{1}{3^{1+\frac{2}{3}}}}$

Some os valores

$\dfrac{1}{3^{\frac{5}{3}}}}\\\\\\ 3^{-\frac{5}{3}}$

Este é o valor deste limite.