Question

Limites, achar a e b​

Answer 1

Resposta:

a = 1 e b = 0

Explicação passo-a-passo:

Vamos agrupar o termo ax na fração e fatorar:$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left [ ax + b - \dfrac{x^3+ 1}{x^2+ 1} \right] = \lim_{ x \to \infty} \, b + \dfrac{ax^3 - x^3 + ax - 1}{x^2+ 1} = \lim_{x \to \infty} b + \dfrac{x^2 \left( (a-1)x + \dfrac ax - \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2 \left( 1+ \dfrac 1x \right)}$

Cancelando o x² note que 1 + 1/x tende a 1. Ou seja, sumiu a indeterminação no denominador. No numerador, caso seja (a-1) diferente de zero, o limite irá pra infinito (positivo ou negativo, dependendo do sinal de a-1). Assim, devemos ter a = 1. Continuando o limite fica

$\displaystyle \lim_{ x \to \infty}b + \dfrac{\dfrac 1x - \dfrac 1{x^2}}{1 + \dfrac 1x} = b$

Logo, devemos ter b = 0

Outra maneira: (concisamente)

Alternativamente podemos observar que

x³+1 = x ( x² + 1) + (-x + 1)

Daí o limite fica

$\displaystyle \lim_{ x \to \infty} ax + b - x + \dfrac{x-1}{x^2 + 1}$

como x-1 ≤ x e x² + 1 ≥ x²  segue que (x-1)/(x²+1) ≤x/x² = 1/x. Assim esse termo tende a zero. Sobra apenas (a-1)x + b pra analisar. Pra que isso seja 0 deveremos ter a = 1 e b = 0.

Resumo de limites de quocientes de polinômios quando x tende a infinito:

Se temos os polinômios

$p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m \\q(x) = b_0 + b_1x + \cdots + b_n x^n$

onde os coeficientes a_m e b_n são não nulos, então o limite

$\displaystyle \lim _{x \to \infty} \,\dfrac{p(x)}{q(x)} = L$

( I )  L = 0 se n > m

( II )  L = a_m / b_n se m = n

( III ) L = ±∞ se m > n (o sinal é o mesmo de a_m/a_n)

Isso é fácil de se mostrar fatorando x  no numerador e denominador, como na primeira solução.

Sobre o algoritmo da divisão, caso seja m ≥ n sempre podemos escrever

p(x) = Q(x)q(x) + R(x)

Onde Q é o quociente da divisão de p por q e R é o resto. O importante é que R tem grau menor que q. Ou seja:

$\dfrac{p(x)}{q(x)} = Q(x) + \dfrac{R(x)}{q(x)}$

Como o grau de R é menor que o grau de q, segue que

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \dfrac{R(x)}{q(x)} = 0$

(Isso é exatamente o caso ( I ) )Portanto, para analisar o limite de p(x)/q(x) basta analisar o limite de Q(x). Mas Q(x) é um polinomio, logo se o grau de Q é diferente de zero (ou seja, se Q não é um polinômio constante), então esse limite só pode ser infinito (sinal depende do coeficiente lider de Q). Isso é o caso ( III ). Se Q é constante, temos o caso ( II ). Essa análise não é tão "útil" assim, são poucos problemas convencionais que fará diferença. O mais importante seria apenas lembrar num problema difícil que dividir polinômios pode ser útil.