Question

LIMITEEEEEES Calcule $\lim_{x \to \infty} (\frac{1+3x}{1-2x})^{4x}$

Answer 1

$L = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left( \dfrac{1+3x}{1-2x} \right)^{4x}$

Para calcular esse limite lembramos que:

( I ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \left( 1 + \dfrac 1n\right)^n = e$

A ideia é reescrever o limite de maneira similar ao acima. Com isso temos:

$\displaystyle \dfrac{1+3x}{1-2x} = \dfrac{ -\dfrac 32\left(1 - 2x \right)+ \dfrac 12}{1-2x} = -\dfrac 32+ \dfrac 1{2(1-2x)} = - \dfrac 32 \left(1 + \dfrac1{6x -3}\right)$

Assim, faremos a mudança de variável y = 6x-3. Logo:

$L = \displaystyle \lim_{y \to \infty}\, \left[ - \dfrac 32 \left( 1 + \dfrac 1y\right)\right]^{\frac{2y}3 +2} = \lim_{y \to \infty} \, \left[\left[ \left(1+ \dfrac 1y\right) ^y \right]^{\frac 32} \left( - \dfrac 32}\right)^{\frac{2y}3+2} \left( 1+ \dfrac 1y \right)^2\right]$

Note que o primeiro fator tende a e^(3/2) por ( I ), o segundo tende a infinito (veja observação no final) e o terceiro tende a 1. Portanto L = ∞.

Obs.:

Observe que para x > 1/2 o número (1+3x)/(1-2x) é negativo. Exponenciais com base negativa não são bem definidas para todos expoentes. Por exemplo, não faz sentido falar em (-1)^(1/2) no contexto de números reais. Logo essa questão não está muito bem formulada. Uma maneira de contornar é supor que x é um número inteiro. Eu assumi isso acima. Se x é inteiro, 4x é um número par e portanto sempre temos um número positivo ao calcular

$\left( \dfrac{1+3x}{1-2x} \right)^{4x}$

resolvendo o problema. Note que se x é inteiro, então 2y/3 + 2 é um número par. Daí não há problema em (-3/2)^(2y/3 + 2).

Outra maneira de resolver esse problema seria observar que a base tende a -3/2, cujo módulo é maior que um. Logo, como o exponente é par, esse é um limite da forma k^∞ com k>1. Portanto L = ∞.

Resposta:

∞ (supondo x natural)