Question

Limite x^2-5x+6/x^2-4x+4 quando x tende a 2

Answer 1

Seja o seguinte limite:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4}$

Aplicando diretamente o valor de x, temos:

$\frac{2^2-5(2)+6}{2^2-4(2)+4} = \frac{0}{0}$

Tratando-se de um caso 0/0, podemos utilizar a regra de L'Hôpital, porém, caso não a conheça ainda, podemos prosseguir da seguinte forma.

Todo polinômio de segundo grau pode ser escrito da seguinte forma:

$p(x) = (x - x_1)(x - x_2)$

Onde x₁ e x₂ são as raízes do mesmo, então, agora, vamos encontrar as raízes de ambos polinômios utilizando a "Fórmula de Bhaskara":

$x^2-5x+6 = (x-3)(x-2)\\ \\x^2-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)^2$

Como o polinômio do denominador possui uma raiz em x = 2, isso significa que há uma assíntota vertical neste ponto, logo, será necessário tomar os limites laterais e verificar se os mesmos convergem para o mesmo valor. Já aplicando as simplificações, temos:

Limite pela esquerda:

$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)^2}\\ \\= \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x-3}{x-2}\\ \\= \frac{2^{-}-3}{2^{-}-2}\\ \\= \frac{-1^{-}}{-0^{-}}\\ \\= \infty$

Limite pela direita:

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)^2}\\ \\= \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x-3}{x-2}\\ \\= \frac{2^{+}-3}{2^{+}-2}\\ \\= \frac{-1^{+}}{0^{+}}\\ \\ = -\infty$

Como podemos ver, os limites laterais são diferentes, logo, o limite não existe.

Observe a imagem anexada para entender melhor o comportamento das funções. É possível notar que quando nos aproximamos pela esquerda, o valor do limite vai para o infinito positivo, e pela direita, para o infinito negativo, assim justificando os valores encontrados para os limites laterais.

Espero ter ajudado.