Question

limite (raiz cubica de x - raiz cubica de 3) / x - 3 x->3

Usando fatoração por favor. Tô no primeiro semestre de Cálculo.

Answer 1

Calcular o limite

                ∛x − ∛3
     lim    —————
   x → 3       x − 3


Coloque ∛3 em evidência no numerador, e 3 em evidência no denominador:

     $\mathsf{\underset{x\to 3}{\ell im}~\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{x}-\,^3\!\!\!\sqrt{3}}{x-3}}\\\\\\ \mathsf{=\underset{x\to 3}{\ell im}~\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}\cdot \left(\frac{^3\!\!\!\sqrt{x}}{^3\!\!\!\sqrt{3}}-1 \right)}{3\cdot \left(\frac{x}{3}-1\right)}}\\\\\\ \mathsf{=\underset{x\to 3}{\ell im}~\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot \dfrac{\frac{^3\!\!\!\sqrt{x}}{^3\!\!\!\sqrt{3}}-1}{\frac{x}{3}-1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\underset{x\to 3}{\ell im}~\dfrac{^3\!\!\!\!\sqrt{\frac{x}{3}}-1}{\frac{x}{3}-1}}$


Faça uma mudança de variável:

     $\mathsf{^3\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{x}{3}}=t\quad\Longrightarrow \quad\dfrac{x}{3}=t^3}$


e t ⟶ 1 quando x ⟶ 3. Logo, o limite fica

     $\mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\underset{t\to 1}{\ell im}~\dfrac{t-1}{t^3-1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\underset{t\to 1}{\ell im}~\dfrac{t-1}{t^3-1^3}}$


Temos uma diferença entre cubos no denominador. Você pode fatorar o denominador usando produtos notáveis ou divisão polinomial:

     •  a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

para a = t e b = 1:

     $\mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\underset{t\to 1}{\ell im}~\dfrac{t-1}{(t-1)\cdot (t^2+t\cdot 1+1^2)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\underset{t\to 1}{\ell im}~\dfrac{t-1}{(t-1)\cdot (t^2+t+1)}}$


Simplifique o fator comum (t − 1) que aparece no numerador e no denominador:

     $\mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\underset{t\to 1}{\ell im}~\dfrac{1}{t^2+t+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{1}{1^2+1+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{1}{1+1+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{1}{3}}$

     $\mathsf{=\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3}}{9}\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Temos o seguinte limite,

$\lim_{x \to 3} \dfrac{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3} }{x-3}$

Existe vários métodos que você possa resolver esse limite! O Lucas lhe apresentou um método e eu vou apresentar outra maneira de encontrar a resposta.

Podemos usar um das propriedades do produto notável, que se chama soma pela diferença de dois cubos.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Extraindo uma raiz cúbica de a³ e b³,

$\sqrt[\not3]{a^{\not3}}- \sqrt[\not3]{b^{\not3}} = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\ \\ \\ a-b=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Em seguida, podemos substituir no lugar do a, o $\sqrt[3]{x}$ e no lugar do b, o $\sqrt[3]{3}$,

$x-3=( \sqrt[n]{x} - \sqrt[3]{3} )( (\sqrt[3]{x})^2+ \sqrt[3]{x}~.~\sqrt[3]{3}+ ( \sqrt[3]{3} )^2) \\ \\ \\ x-3=( \sqrt[n]{x} - \sqrt[3]{3})( \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{3x}+ \sqrt[3]{3^2})$

No lugar de x - 3 pode substituir a expressão,

$\lim_{x \to 3} { \dfrac{ (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}) }{( \sqrt[3]{x}- \sqrt[3]{3})( \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{3x}+ \sqrt[3]{3^2} )}$

$\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{ \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{3x}+ \sqrt[3]{9} } }$

Agora podemos substituir o 3 no lugar do x,

$\lim_{x \to 3} \dfrac{1}{ \sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{9}+ \sqrt[3]{9} } = \dfrac{1}{ 3\sqrt[3]{9} }$

Como encontramos um resultado com o denominador com uma raiz, temos que fazer a racionalização do denominador.

$=\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{9} } ~.~ \dfrac{\sqrt[3]{9^2} }{ \sqrt[3]{9^2} } \\ \\ \\ =\dfrac{ 3\sqrt[3]{3} }{27} \\ \\ \\ =\boxed{\dfrac{ \sqrt[3]{3} }{9}}~\checkmark$