Question

Limite:
Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, aprendemos a calcular limite de funções de maneira direta. Mas, aqui na disciplina de análise, vimos com mais atenção que há uma definição para essa operação. A partir dessa definição de limite, também podemos realizar essa operação.

Para essa atividade, utilize a definição para mostrar que (veja imagem em anexo).

Answer 1

Resposta:

a)

Pela definição de limite, $\lim_{x \to 3} (3x+9)=18 \Leftrightarrow \forall\ \varepsilon > 0\ \exists\ \delta > 0;|x-3| < \delta \Rightarrow |(3x+9)-18| < \varepsilon$

Seja $\varepsilon > 0$ dado $|(3x+9)-(18)| < \varepsilon$

Então, qual valor de $\delta$ para $\varepsilon$ dado?

$0 < |x-3| < \delta$

NOTE QUE $|3x+9-18|=|3x-9|=|3(x-3)|=|3||x-3|=3|x-3|$

então, como $|(3x+9)-(18)| < \varepsilon$, temos que $3|x-3| < \varepsilon$ e então $|x-3|=\frac{\varepsilon }{3}$

logo uma possibilidade é $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$

Verificando

Seja $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$, então $|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}$

Para $x\to 3^+$ temos $x > 3 \Rightarrow |x-3|=x-3 > 0$ e $0 < x-3 < \frac{\varepsilon}{3}$, logo temos que $3|x-3|=3x-9 < \varepsilon$, como $x > 3$ então $x-3 > 0$, então podemos escrever $|3x-9| < \varepsilon \Rightarrow |(3x+9)-(18)| < \varepsilon$, ou seja, se $|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}$ então $|(3x+9)-(18)| < \varepsilon$

Para $x\to3^-$ temos $x > 3 \Rightarrow |x-3|=-(x-3) > 0$ e $0 < -(x-3) < \frac{\varepsilon}{3}$, logo temos que $3|x-3|=-3x+9 < \varepsilon$, como $x < 3$ então $x-3 < 0$, então podemos escrever $|3x-9| < \varepsilon \Rightarrow |(3x+9)-(18)| < \varepsilon$, ou seja, se $|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}$ então $|(3x+9)-(18)| < \varepsilon$

Como queriamos demonstrar

b) a gente vai seguir a mesma ideia, mas agora para $0 < |x-5| < \delta$ e $|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon$

$|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon\\|x^2-3x-10| < \varepsilon$

As raizes desse polinomio de grau 2 são $5$ e $-2$, então ele pode ser escrito como $(x-5)(x+2)$, dai então

$|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon\\|x^2-3x-10| < \varepsilon\\|(x-5)(x+2)| < \varepsilon\\|(x-5)||(x+2)| < \varepsilon$

como $x\to5$ então $x+2 > 0$, então

$|(x-5)||(x+2)| < \varepsilon\\|(x-5)|(x+2) < \varepsilon\\|(x-5)| < \frac{\varepsilon}{(x+2)}$

logo uma possibilidade é $\delta=\frac{\varepsilon}{(x+2)}$

Verificando

Seja $\delta=\frac{\varepsilon}{(x+2)}$ então $|x-5| < \frac{\varepsilon}{(x+2)}$

Para $x\to 5^+$ temos $x > 5 \Rightarrow |x-5|=x-5 > 0$ e $0 < x-5 < \frac{\varepsilon}{(x+2)}$, logo temos que $(x-5)(x+2) < \varepsilon$, como $x > 5$ então $x-5 > 0$, então podemos escrever $(x-5)(x+2)=|(x-5)||(x+2)|=|(x-5)(x+2)|=|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon$, ou seja, se $|x-| < \frac{\varepsilon}{(x-2)}$ então $|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon$

Para $x\to5^-$ o raciocínio é analogo utilizando a definição de modulo e invertendo a desigualdade al multiplicar por $-1$, assim como no item a