Question

Limite logaritmo, a resposta é: ln4. Calculo please:

$\lim_{x \to 3} ln\frac{x-3}{\sqrt{x+1} -2}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\[\lim_{x\rightarrow 3 } ln\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\]$

Pela seguinte propriedade dos limites:

Lim ln f(x) = ln • Limf(x)

Então:

$ln . \lim_{x\rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}$

$ln.\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}.\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}$

Vamos racionalizar o denominador:

$Ln.\lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x-3).(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}$

Veja que no denominador temos um produto notával .

$Ln.\lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1})^2-2^2}$

$Ln.\lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(x+1-4)}$

$L.n\lim_{x \rightarrow 3}\frac{\cancel{(x-3)}(\sqrt{x+1}+2)}{\cancel{(x-3)}}$

$Ln.\lim_{x \rightarrow 3}\sqrt{x+1}+2$

Substituindo ter-se-á:

Ln • [√(3 + 1) + 2]

Ln • (√4 + 2)

Ln • (2 + 2)

Ln • (4)

2Ln 2

Espero ter ajudado bastante!)