Question

limite de x²- x / x²+x - 2 x para 1

Answer 1

Olá


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 1}~ \frac{x^2-x}{x^2+x-2} }$



Temos que fatorar o numerador e o denominador para simplificarmos e sair da indeterminação.


no numerador:

x² - x = 0

x(x - 1)



no denominador:

x² + x - 2 = 0

Por bhaskara

Δ = 1 - 4.1.(-2)
Δ = 9

$\displaystyle\mathsf{X= \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} }\\\\\\\mathsf{x'= \frac{-1-3}{2}~=~ \boxed{-2} }\\\\\\\mathsf{x''= \frac{-1+3}{2}~=~ \boxed{1} }$


Forma fatorada de um polinômio

a.(x - b).(x - c)

sendo:

'a' -> O termo que acompanha o x²
'b' e 'c' as raízes do polinômio

Então a forma fatorada no denominador fica sendo

(x-1).(x+2)



Substituindo no limite


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 1}~ \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+2)} }\\\\\\\\\text{Simplifica}\\\\\\\\\mathsf{ \lim_{x \to 1}~ \frac{x(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!1)}{(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!1)(x+2)} }\\\\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} ~ \frac{x}{x+2}~=~ \frac{1}{1+2}~=~ \frac{1}{3} }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{ \lim_{x \to 1} ~ \frac{x^2-x}{x^2+x-2}~= ~ \frac{1}{3} }}$