Question

limite de x tendendo a a de ((sen(x)-sen(a))/(x-a))
Passo a passo pois na internet existe uma resposta muito geral e sem referencias as propriedades utilizadas.

Answer 1

Calcular o limite

     $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\mathrm{sen\,}x-\mathrm{sen\,}a}{x-a}$


Subtraia e some  $a$  ao argumento de  $\mathrm{sen\,}x,$  de modo que o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{sen}[(x-a)+a]-\mathrm{sen\,}a}{x-a}$


Aplique a identidade do seno de uma soma:

     •   $\mathrm{sen}(\alpha+\beta)=\mathrm{sen\,}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\,\mathrm{sen\,}\beta$

com  $\alpha=x-a$  e  $\beta=a.$


Assim, o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{sen}(x-a)\cos a+\cos(x-a)\,\mathrm{sen\,}a-\mathrm{sen\,}a}{x-a}\\\\\\ =\lim_{x\to a}\frac{\mathrm{sen}(x-a)\cos a+\mathrm{sen\,}a\cdot [\cos(x-a)-1]}{x-a}\\\\\\ =\lim_{x\to a}\left[\frac{\mathrm{sen}(x-a)\cos a}{x-a}+\frac{\mathrm{sen\,}a\cdot [\cos(x-a)-1]}{x-a}\right]\\\\\\ =\lim_{x\to a}\left[\cos a\cdot \frac{\mathrm{sen}(x-a)}{x-a}-\mathrm{sen\,}a\cdot \frac{1-\cos(x-a)}{x-a}\right]$


Use agora uma das identidades para o cosseno do arco duplo:

     •   $1-\cos\theta=2\,\mathrm{sen^2}\,\dfrac{\theta}{2}$

com  $\theta=x-a,$  e o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{x\to a}\left[\cos a\cdot\frac{\mathrm{sen}(x-a)}{x-a}-\mathrm{sen\,}a\cdot \frac{2\,\mathrm{sen^2}(\frac{x-a}{2})}{x-a}\right]\\\\\\ =\lim_{x\to a}\left[\cos a\cdot\frac{\mathrm{sen}(x-a)}{x-a}-\mathrm{sen\,}a \cdot \mathrm{sen}\left(\frac{x-a}{2}\right) \cdot \frac{\mathrm{sen}(\frac{x-a}{2})}{~\frac{x-a}{2}~}\right]$


Veja que na expressão acima apareceu o limite trigonométrico fundamental duas vezes:

     •   $\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{\mathrm{sen\,}u}{u}=1$


Fazendo  $x\to a,$  o limite fica

     $=\cos a\cdot 1-\mathrm{sen\,}a\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{a-a}{2}\right)\cdot 1\\\\\\ =\cos a\cdot 1-\mathrm{sen\,}a\cdot 0\cdot 1\\\\\\ =\cos a\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


     $\boxed{\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\mathrm{sen\,}x-\mathrm{sen\,}a}{x-a}=\cos a\end{array}}$


Bons estudos! :-)