Question

limite de x^3 - 5x^2 + 8x - 4 dividido por x^4 - 5x -6 quando x tende a 2

Answer 1

Olá, primeiro vamos testar se temos uma indeterminação, substituindo 2 no lugar de x:

$\lim_{x \to 2} \frac{ x^{3}-5 x^{2} +8x-4 }{ x^{4}-5x-6 } = \frac{ 2^{3}-5 .2^{2} +8.2-4 }{ 2^{4}-5.2-6 } = \frac{8-20+16-4}{16-10-6}= \frac{0}{0}$ 
Como temos uma indeterminação do tipo 0/0 

$x^{3}-5 x^{2} +8x-4$
x=1 é raiz do polinômio. Então x-1=0
Fazendo a divisão de $x^{3}-5 x^{2} +8x-4$ por $x-1$  temos como resultado $x^{2} -4x+4$  . Portanto:
$x^{3}-5 x^{2} +8x-4 = (x^{2} -4x+4) (x-1 )$

Como $(x^{2} -4x+4)$ é um quadrado perfeito, será: $( x-2)^{2}$. 
$x^{3}-5 x^{2} +8x-4 = (x-2) ^{2} (x-1 )$

Agora vamos para o denominador:
$x^{4}-5x-6$ 
x=-1 é raiz do polinômio. Logo x+1=0
Fazendo a divisão de $x^{4}-5x-6$  por $x+1$ Teremos: $x^{3}- x^{2} +x-6$
$x^{4}-5x-6=(x^{3}- x^{2} +x-6) (x+1)$

$x^{3}- x^{2} +x-6$ Tem raiz x=2. Logo, x-2=0. Dividindo o polinômio $x^{3}- x^{2} +x-6$  por $x-2$  temos como resultado $x^{2} +x+3$. 
Portanto o polinômio pode ser expresso da seguinte forma:
$x^{4}-5x-6 = (x+1)(x-2)( x^{2} +x+3)$

Agora vamos substituir a fração original pelos seus correspondentes e eliminar o termo que estava dando indeterminação: 
$\lim_{x \to 2 \frac{(x-1)(x-2) ^{2} }{(x+1)(x-2)( x^{2} +x+3)} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)( x^{2}+x+3)}$
Agora que foi eliminada a indeterminação basta substituir os valores de x por 2:
$\lim_{x \to 2 \frac{(2-1)(2-2)}{(2+1)( 2^{2}+2+3)} = \frac{0}{27} = 0$