Question

limite de √(2-x²)-1)/(x-1) quando x tende a 1?

Answer 1

$\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{2-x^2}-1 }{x-1} = \frac{0}{0}$

multiplica em cima e em baixo pelo conjugado do numerador


$\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{2-x^2}-1 }{x-1} * \frac{ \sqrt{2-x^2}+1 }{{ \sqrt{2-x^2}+1}} \\\\ = \boxed{\lim_{x \to 1} \frac{( \sqrt{2-x^2}-1)*( \sqrt{2-x^2}+1) }{(x-1)*( \sqrt{2-x^2}+1)}}$

veja que quando vc multiplica pelo conjugado vc sempre vai ter uma diferença dos quadrados porque 
$(A-B)*(A+B) = A^2 +AB - BA - B^2 = A^2-B^2$

então o numerador fica
$( \sqrt{2-x^2}-1)*( \sqrt{2-x^2}+1)\\\\ = ( \sqrt{2-x^2})^2-(1)^2\\\\= 2-x^2 - 1\\\\= \boxed{1-x^2}$

veja que 1-x² tambem é uma diferença dos qudrados
A²-B² = (A-B)*(A+B)

logo 
$(1-x^2) = (1^2-x^2) = \boxed{(1-x)*(1+x)}$

agora temos 
$\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(1+x) }{(x-1)*( \sqrt{2-x^2}+1)}}$

colocando -1 em evidencia no (1-x) para mudar o sinal e ficar igual o denominador

$\lim_{x \to 1} \frac{-1*(-1+x)*(1+x) }{(x-1)*( \sqrt{2-x^2}+1)}}\\\\\lim_{x \to 1} \frac{-1*(1+x) }{( \sqrt{2-x^2}+1)}}= \frac{-1*(1+1) }{( \sqrt{2-1^2}+1)}}= \frac{-1*(2)}{1+1}= -1$