Question

limite com x tendendo ao infinito da função x^3-6x+1/6x^3+x+3

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Calcular o limite dado abaixo:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~\infty}~\dfrac{x^{3}-6x+1}{6x^{3}+x+3}}}$

Vamos dividir numerador e denominador desta função por x³, veja:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~\infty}~\dfrac{x^{3}-6x+1}{6x^{3}+x+3}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~\infty}~\dfrac{1-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}}}}$

Agora façamos uma substituição:

$\mathsf{u=\dfrac{1}{x}}}$

Observe:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~\infty}~\dfrac{1-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}}}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~0}~\dfrac{u^{3}-6u^{2}+1}{3u^{3}+u^{2}+6}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{0^{3}-6~\cdot~0^{2}+1}{3~\cdot~0^{3}+0^{2}+6}}}=\Large\boxed{\boxed{\mathbf{\dfrac{1}{6}}}}}}}}}$

Ante o exposto, podemos concluir que:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~\infty}~\dfrac{x^{3}-6x+1}{6x^{3}+x+3}}}}=\mathsf{\dfrac{1}{6}}}$

Espero que te ajude (^.^)