Question

Limite com t->0 raiz de 25+3t menos 5/ t

Answer 1

Calcular o limite

     $\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{25+3t}-5}{t}$



Ao fazer $t\to 0,$ caímos em uma indeterminação do tipo "0/0". Para contorná-la, podemos fazer uma mudança de variável:

     $\sqrt{25+3t}=u\\\\\begin{array}{cl}\Rightarrow\quad &25+3t=u^2\\\\ &3t=u^2-25\\\\ &t=\dfrac{u^2-25}{3}\end{array}$

e $u\to 5$ quando $t\to 0.$


Dessa forma, o limite fica

     $\displaystyle=\lim_{u\to 5}\frac{u-5}{~\frac{u^2-25}{3}~}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\,(u-5)\cdot \frac{3}{u^2-25}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{3(u-5)}{u^2-5^2}$


No denominador apareceu uma diferença entre quadrados. Fatore usando produtos notáveis:

     •   a² − b² = (a − b) ∙ (a + b)

para  $a=u$  e  $b=5.$


Então, o limite fica

     $=\lim\limits_{u\to 5}\dfrac{3(u-5)}{(u-5)(u+5)}$


Simplifique o fator comum $(u-5)$ que apareceu no numerador e no denominador:

     $=\lim\limits_{u\to 5}\dfrac{3}{u+5}\\\\\\ =\dfrac{3}{5+5}$

     $=\dfrac{3}{10}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)