Question

limite (√(1+x)) - (√(1- x)) / x , quando x tende a 0

Answer 1

Calcular o limite da função:

     $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$


Para racionalizar o numerador,  multiplique o numerador e o denominador pelo  conjugado do numerador,  que é   $(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}):$

     $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$


No numerador temos o produto da soma pela diferença entre dois termos. Expandindo por produtos notáveis, o limite fica

     $=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x})^2-(\sqrt{1-x})^2}{x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)-(1-x)}{x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{1+x-1+x}{x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$


Simplifique o fator comum  x  que aparece no numerador e no denominador:

     $=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\\\\\\ =\dfrac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}\\\\\\ =\dfrac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}\\\\\\ =\dfrac{2}{1+1}\\\\\\ =\dfrac{2}{2}$

     $=1$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)