Question

lim x → + ∞ √ x^2+2x +3 - x

Answer 1

Resposta:

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x+3}-x)=1$

Explicação passo-a-passo:

Observe que se tentarmos "substituir" ∞ no lugar do $x$ vamos cair em ∞ - ∞ que é uma indeterminação. Uma boa técnica para eliminar esta indeterminação é multiplicar a expressão pelo seu conjugado da seguinte maneira, e desenvolvendo o produto notável:

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x+3}-x)*\frac{(\sqrt{x^2+2x+3}+x)}{(\sqrt{x^2+2x+3}+x)}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x+3-x^2}{(\sqrt{x^2+2x+3}+x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{(\sqrt{x^2+2x+3}+x)}$Note ainda que se tentarmos novamente  "substituir" ∞ no lugar do $x$ vamos cair em ∞/∞ que é outra indeterminação. Uma técnica para eliminar essa indeterminação é colocar o $x$ em evidência no numerador e no denominador para simplificá-lo.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{(\sqrt{x^2+2x+3}+x)}= \lim_{x \to \infty} \frac{x(2+\frac{3}{x})}{(x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+1)}$

Obs.: $\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2})}=|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$, como $x$ tende ao infinito positivo $|x| = x$ , assim $|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$

Agora sim podemos aplicar o limite sem nenhum problema, sabemos que qualquer limite da forma $\lim_{x \to+ \infty} \frac{\alpha}{x^\beta}= 0$ em que $\alpha$ ∈ IR e $\beta$ ∈ Z, chegamos então em:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+1)}=\frac{2+0}{\sqrt{1+0+0}+1}= \frac{2}{2}=1$