Question

lim x --> 0+ de (tgx)^tg2x
sem aplicar L'hopital.
Resposta 1.

Answer 1

Queremos calcular o limite:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \, (\tan x)^{ \displaystyle \tan 2x}$

Notamos que tan(x) é positiva quando x > 0 e x está próximo de 0. Assim a exponencial acima está bem definida e é um número positivo. Podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da igualdade acima e obter

( I ) $\ln L = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \, \tan2x \ln ( \tan x)$

Observe que ao contrário das questões anteriores (deixarei o link no final), nessa não podemos fazer uso do limite

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln (1+x)}{x} = 1$

O problema dessa vez é que tan(x) tende a 0, e no limite acima o logaritmo é tomado numa função tendendo a 1, o que impossibilita essa abordagem. Dessa vez para não usar L'Hopital, partiremos do seguinte resultado de exponenciais:

( II ) $\displaystyle \lim_{ x \to \pm \infty} \, \dfrac x{e^x} =0$

O limite acima implica que

( III ) $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$

que é a versão que usaremos. Precisaremos também do limite fundamental do seno:

( IV ) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac { \sin x} x = 1$

Com isso em mente, retomando ( I ) temos:

$\ln L = \displaystyle \lim_{ x \to 0^+} \, \dfrac { \tan 2x} { \tan x} \cdot \tan x \ln( \tan x)$

No limite acima, o fator da direita tende a 0 por ( III ). Precisamos apenas ver o que acontece com o fator da esquerda:

$\dfrac { \tan 2x}{ \tan x} = \dfrac { \sin 2x} { \cos 2x} \cdot \dfrac{ \cos x} { \sin x} = \dfrac{ \sin 2x}{ 2x} \cdot \dfrac { x}{ \sin x} \cdot \dfrac{ 2 \cos x}{ \cos 2x}$

Assim, o primeiro fator tende a 2 por ( IV ). Ou seja, concluímos que

ln L = 0

L = 1

Portanto, o limite procurado é 1.

Obs. 1: Para obter ( III ) a partir de ( II ) basta fazermos a substituição x = e^(-t) em ( III ). Portanto:

$\displaystyle \lim_{ x \to 0^+} \, x \ln x = \lim_{ t \to + \infty} \, e^{-t} \ln e^{-t} = \lim_{ t \to +\infty} \, - \dfrac t{ e^t} = 0$

Obs. 2: No limite original, podemos usar a identidade

$\tan 2x= \dfrac{ 2 \tan x}{ 1 - \tan^2 x}$

e fazer a substituição t = tan(x) obtendo

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \, ( \tan x)^{ \displaystyle \tan 2x} = \lim_{t \to 0^+} \, t^{ \frac {2t}{1 - t^2}} \implies \ln L = \lim_{ to \to 0^+} \, \dfrac {2}{1-t^2} \cdot t \ln t = 0$

Assim escapamos do uso de ( IV )

Resposta:

O limite é 1.

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