Question

lim x-4 3-raiz 5+x /1-raiz 5-x

Answer 1

Olá

_________________________________________________________
Caso não consiga visualizar, tente abrir pelo navegador:
https://brainly.com.br/tarefa/8758914
_________________________________________________________


$\displaystyle \lim_{x \to 4} ~~ \frac{3- \sqrt{5+x} }{1- \sqrt{5-x} } ~=~ \frac{0}{0}$


Temos uma indeterminação do tipo 0/0 é, temos raiz tanto no numerador quanto no denominador, então, para eliminá-las teremos que multiplicar duas vezes pelo conjugado. A primeira multiplicação do conjugado será pelo numerador, e a segunda pelo do denominador. OBS: a ordem não importa

$\displaystyle \lim_{x \to 4} ~~ \frac{3- \sqrt{5+x} }{1- \sqrt{5-x} }~\cdot~ \frac{3+ \sqrt{5+x}}{3+ \sqrt{5+x}} \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{(3)^2- (\sqrt{5+x})^2 }{(1- \sqrt{5-x})(3+ \sqrt{5+x}) } \\ \\ \\ \text{Cancela o expoente com a raiz} \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{9- (5+x) }{(1- \sqrt{5-x})(3+ \sqrt{5+x}) } \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{9-5-x }{(1- \sqrt{5-x})(3+ \sqrt{5+x}) } \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{4-x }{(1- \sqrt{5-x})(3+ \sqrt{5+x}) }$


Agora temos que multiplicar pelo conjugado do denominador. OBS:( O do inicio do exercicio.)


$\displaystyle \lim_{x \to 4} ~~ \frac{4-x }{(1- \sqrt{5-x})(3+ \sqrt{5+x}) } ~\cdot~ \frac{1+ \sqrt{5-x}}{1+ \sqrt{5-x}} \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{(4-x)(1+ \sqrt{5-x}) }{(1- \sqrt{5-x})^2(3+ \sqrt{5+x}) } \\ \\ \\ \text{Cancela a raiz com o expoente} \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{(4-x)(1+ \sqrt{5-x}) }{(1-( 5-x))(3+ \sqrt{5+x}) } \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~ \frac{(4-x)(1+ \sqrt{5-x}) }{(1- 5+x)(3+ \sqrt{5+x}) }$

$\displaystyle \lim_{x \to 4} ~~ \frac{(4-x)(1+ \sqrt{5-x}) }{(-4+x)(3+ \sqrt{5+x}) } \\ \\ \\ \text{Note que podemos cancelar os termos (4-x) com (-4+x), mas note que}\\\text{os sinis estao trocados, isso implica que quando formos simplificar}\\\text{resultara em -1} \\ \\ \\ \lim_{x \to 4} ~~~\frac{(\diagup\!\!\!\!4-\diagup\!\!\!\!x)(1+ \sqrt{5-x}) }{(-\diagup\!\!\!\!4+\diagup\!\!\!\!x)(3+ \sqrt{5+x}) }$

Resolvendo o limite

$\displaystyle \lim_{x \to 4} ~~- \frac{1+ \sqrt{5-x} }{3+ \sqrt{5+x} }~=~ -\frac{1+ \sqrt{5-4} }{3+ \sqrt{5+4} } ~=~- \frac{1+ \sqrt{1} }{3+ \sqrt{9} } ~=~- \frac{1+1}{3+3} \\ \\ \\ =- \frac{2^{\div 2}}{6^{\div 2}} ~=~\boxed{- \frac{1}{3} }~~~~~~ \longleftarrow \text{Resposta.}$

Answer 2

O valor de $\lim_{x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}$ é -1/3.

Observe que ao substituirmos o valor de x da função $f(x) = \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}$ por 4, obtemos a indeterminação 0/0.

Para resolver esse limite, podemos utilizar a Regra de L'Hôpital.

Para isso, precisamos derivar o numerador e o denominador até "retirarmos" a indeterminação.

No numerador, temos que a função é $y=3-\sqrt{5+x}$. A derivada dessa função é igual a $y'=-\frac{1}{2\sqrt{5+x}}$.

No denominador temos que a função é $y=1-\sqrt{5-x}$. A derivada dessa função é igual a $y'=\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$.

Se substituirmos o valor de x = 4 nas duas derivadas, obtemos os seguintes valores:

No numerador → -1/6.

No denominador → 1/2.

Ao dividirmos o numerador pelo denominador não temos mais a indeterminação.

Portanto, o valor do limite é:

$\lim_{x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}$.

Para mais informações sobre limite, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18520425