Question

Lim(x^4+2x^3-5x^2-12x-4)/(2x^4+7x^3+2x^2-12x-8), x--> -2
Passo a passo pfvr, não to conseguindo fazer :,(

Answer 1

Dê nomes aos polinômios para facilitar nossas referências a eles e evita um resposta carregada induzindo a possíveis erros: 

P(x) = x^4+2x^3-5x^2-12x-4
Q(x) = 2x^4+7x^3+2x^2-12x-8

Vamos fazer o teste para x = -2:
P(-2) = 16 - 16 - 20 + 24 - 4 = 0 
Q(-2) = 32 - 56 + 8 + 24 - 8 = 0

Então, P(x)/Q(x) → 0/0 uma indeterminação passiva da aplicação da Regra de L'Hopital. Caso não queira aplicar L'Hopital por alguma razão específica, tem outro jeito. Porém, eu creio que seja mais trabalhosa. Numa prova, você vai perder tempo. É  fatorar esses polinômios até "levantar" a indeterminação (tirar o zero do denominador). Mas faça isso quando for muito evidente a fatoração (simples, vc detectar só em olhar) ou quando não for possível aplicar a Regra de L'Hopital, por razões específicas ou exigência do examinador. 

 Vamos Aplicar a Regra de L'Hopital
(1) Deriva Numerador e Deriva Denominador (em x)
(2) Faça o teste novamente com x = -2, se ainda continuar a indeterminação 0/0 aplique novamente a regra e teste novamente até não ter mais denominador nulo

Vamos as contas:

1º Passo) Derivada Primeira em P(x) e Q(x) 
⇒ Derivando P(x) = x^4+2x^3-5x^2-12x-4
P'(x) = 4x³ + 6x² - 10x - 12
P'(-2) = 4(-2)³ + 6(-2)² - 10(-2) - 12 = 0

⇒ Derivando Q(x) = 2x^4+7x^3+2x^2-12x-8
Q'(x) = 8x³ + 21x² + 4x -12
Q'(-2) = 8(-2)³ + 21(-2)² + 4(-2) - 12 = 0

Ainda temos problemas, P'(x)/Q'(x) = 0/0 →  continua a indeterminação e é passiva da aplicação da Regra de L'Hopital novamente.

2º Passo) Derivada Segunda em P(x) e Q(x) 
⇒ Derivando P'(x) = 4x³ + 6x² - 10x - 12
P"(x) = 12x² + 12x -10
P"(-2) = 12(-2)² + 12(-2) -10 = 48 - 24 -10 = 14 

⇒ Derivando Q'(x) = 8x³ + 21x² + 4x -12
Q"(x) = 24x² + 42x + 4 
Q"(-2) = 24(-2)² + 42(-2) + 4 = 96 - 84 + 4 = 16 (Ufffaaa! Denominador ≠ 0!!!)

3º Passo) Passar o limite em P"(x)/Q"(x)
lim[x→-2] (12x² + 12x -10)/(24x² + 42x + 4) = 14/16 = 7/8

Conclusão: o lim[x→-2] P(x)/Q(x) = 7/8

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Obrigado pela oportunidade 
Boa sorte, bons estudos!
SSRC - 2015 
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Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

7=8