Question

lim x^3-x^2-x+10/
x2+3x+2 tende a -2​

Answer 1

O exercício pede conhecimento de limites, mais especificamente uma ferramenta de cálculo de limites usando derivada, L'Hopital.

L'Hopital está definido como, se temos um limite tal que:

$\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Isso somente funciona para quando f(a) = g(a) = 0, onde haveria uma indeterminação "0/0".

A prova dessa propriedade dos limites pode ser encontrada de forma mais completa na resposta da seguinte página: https://brainly.com.br/tarefa/22804445

Sabendo disso, calcularemos o limite dado:

$\lim_{x\rightarrow -2} \dfrac{x^3-x^2-x+10}{x^2+3x+2}$

Perceba que:

$(-2)^3-(-2)^2-(-2)+10 = -8-4+2+10 = 12-12 = 0$

$(-2)^2+3(-2)+2 = 4-6+2 = 6-6 = 0$

Pelas hipóteses de L'Hopital, que diz que f(a) = g(a) = 0 e portanto, o limite acima o cumpre os requisitos, o teorema é válido e o limite vale:

$\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

$\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{x^3-x^2-x+10}{x^2+3x+2} = \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{3x^2-2x-1}{2x+3}$

Calcularemos os segundo limite:

$\lim_{x\rightarrow -2} \dfrac{3x^2-2x-1}{2x+3} = \dfrac{3(-2)^2-2(-2)-1}{2(-2)+3}$

$=\dfrac{3*4+4-1}{-4+3} = \dfrac{15}{-1} = -15$

Portanto,

$\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{x^3-x^2-x+10}{x^2+3x+2} = \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{3x^2-2x-1}{2x+3} = -15$