Question

lim x → 2 4-x²/3-√x²+5​

Answer 1

Temos um exercício de limite:

$\begin{array}{l}\\\sf\underset{x\:\to\:2}{lim}~\bigg(\dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\bigg)\\\\\end{array}$

Sendo x tendendo a 2, se na expressão fizermos a substituição x = 2, o resultado vai ser uma indeterminação (0/0).

Então para fugir disso, podemos alterar a expressão de forma que quando fizermos x = 2, ela não caia nessa indeterminação.

$~~$

Veja que por conta da raiz quadrada, podemos racionalizar multiplicando pelo conjugado do denominador:

$\begin{array}{l}\\\sf\dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\cdot\dfrac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}}\\\\\sf\dfrac{(4-x^2)\cdot(3+\sqrt{x^2+5})}{(3-\sqrt{x^2+5})\cdot(3+\sqrt{x^2+5})}\\\\\sf\dfrac{(4-x^2)\cdot(3+\sqrt{x^2+5})}{(3)^2-(\sqrt{x^2+5})^2}\\\\\sf\dfrac{(4-x^2)\cdot(3+\sqrt{x^2+5})}{9-x^2-5}\\\\\sf\dfrac{\cancel{(4-x^2)}\cdot(3+\sqrt{x^2+5})}{\cancel{4-x^2}}\\\\\!\boxed{\sf3+\sqrt{x^2+5}}\\\\\end{array}$

Agora com a expressão racionalizada, podemos fazer a substituição x = 2:

$\begin{array}{l}\\\sf =3+\sqrt{x^2+5}\\\\\sf =3+\sqrt{2^2+5}\\\\\sf =3+\sqrt{4+5}\\\\\sf =3+\sqrt{9}\\\\\sf =3+3\\\\\sf =6\\\\\end{array}$

Então essa é nossa resposta final:

$\boxed{\begin{array}{l}\\\boldsymbol{\sf\underset{x\:\to\:2}{lim}~\bigg(\dfrac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\bigg)=6}\\\\\end{array}}$

$~~$

Att. Nasgovaskov

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