Question

lim x→0 (cos^2x − 1)/(e^x^2 − 1)

Answer 1

$\lim_{x \to \ 0} (cos^2x-1)/(e^x)^x-1)$

Veja que e^x^2 = (e^x)^x.Perceba também que tal limite resulta em uma indeterminação do tipo 0/0.Logo,podemos aplicar L'Hospital.

I.(cos²x-1)' = 2cosx *(-senx)
II.((e^x)^x -1)' = e^(x²) * 2x

Logo,o limite fica:

$\lim_{x \to \ 0} (2cosx *(-senx))/((e^x)^x*2x)$

Veja que tal limite também dá indeterminação do tipo 0/0.Logo,vamos aplicar L'Hospital mais uma vez:

I.(2cosx*(-senx))' = -2*(-sen²x+cos²x) = -2*(-1+2cos²x) = 2-4cos²x
II.((e^x)^x*2x)' = (e^x)^x*2x*2x+2*(e^x)^x = 2(e^x)^x(2x²+1)

Deste modo,o limite fica:

$\lim_{x \to \ 0} (2-4cos^2x)/(2(e^x)^x(2x^2+1)) = (-2)/(2) = -1 \ \textless \ - resposta$