Question

lim sen(x)/sen(2x)
x-> 0

Alguém sabe me dizer como resolve essa questão, sem usar L'hôpital?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{1}{2}~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos encontrar o valor do seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)}{\sin(2x)}$

Para isso, lembre-se que $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$, logo

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)}{2\sin(x)\cos(x)}$

Simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{2\cos(x)}$

Aplique a propriedade da constante: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)$

$\dfrac{1}{2}\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{\cos(x)}$

Sabendo que $\dfrac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$, temos

$\dfrac{1}{2}\cdot\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\sec(x)$

Neste caso, se trata do limite de uma função contínua. Utilize a propriedade: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$

$\dfrac{1}{2}\cdot\sec(0)$

Sabendo que $\sec(0)=1$, temos

$\dfrac{1}{2}\cdot1\\\\\\\\ \dfrac{1}{2}$

Este é o resultado deste limite.

Answer 2

Resposta:

Resposta:

\boxed{\bold{\dfrac{1}{2}~\checkmark}}21 ✓

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos encontrar o valor do seguinte limite:

\underset{xarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)}{\sin(2x)}xarrow0lim sin(2x)sin(x)

Para isso, lembre-se que \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x) , logo

\underset{xarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)}{2\sin(x)\cos(x)}xarrow0lim 2sin(x)cos(x)sin(x)

Simplifique a fração

\underset{xarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{2\cos(x)}xarrow0lim 2cos(x)1

Aplique a propriedade da constante: \underset{xarrow c}{\lim}~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{xarrow c}{\lim}~f(x)xarrowclim a⋅f(x)=a⋅xarrowclim f(x)

\dfrac{1}{2}\cdot\underset{xarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{\cos(x)}21⋅xarrow0lim cos(x)1

Sabendo que \dfrac{1}{\cos(x)}=\sec(x)cos(x)1=sec(x) , temos

\dfrac{1}{2}\cdot\underset{xarrow0}{\lim}~\sec(x)21⋅xarrow0lim sec(x)

Neste caso, se trata do limite de uma função contínua. Utilize a propriedade: \underset{xarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)xarrowclim f(x)=f(c)

\dfrac{1}{2}\cdot\sec(0)21⋅sec(0)

Sabendo que \sec(0)=1sec(0)=1 , temos

\begin{gathered}\dfrac{1}{2}\cdot1\\\\\\\\ \dfrac{1}{2}\end{gathered}21⋅121

Este é o resultado deste limite.