Question

lim [sen(3x²)]/(x³+x²)
x-->∞
Obs. Não é x-->0, para x --> 0 eu consegui fazer.
Obrigada.

Answer 1

Teorema: Sejam $f$ e $g$ funções reais de mesmo domínio, tais que

$\bullet\;\;$ $f$ é limitada, isto é, existe algum número positivo $M,$ tal que

$-M\leq f(x)\leq M\,,$ para todo $x\in \text{Dom}(f)\,;$


$\bullet\;\;$ $\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;{g(x)}=0.$


Sob estas hipóteses, temos que o limite $\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;{f(x)\cdot g(x)}$ existe, e é igual a zero:

$\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;{f(x)\cdot g(x)}=0.$

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$L=\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\mathrm{sen}(3x^{2})}{x^{3}+x^{2}}\\ \\ \\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\mathrm{sen}(3x^{2})\cdot \dfrac{1}{x^{3}+x^{2}}$

$\bullet\;\;$ A função $f(x)=\mathrm{sen}(3x^{2})$ é limitada, pois

$-1\leq \mathrm{sen}(3x^{2})\leq 1\,$ para todo $x \in \mathbb{R}^{*}\,;$


$\bullet\;\;$ $\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{x^{3}+x^{2}}=0$


Logo, pelo teorema dado inicialmente, concluímos que

$L=\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\mathrm{sen}(3x^{2})\cdot \dfrac{1}{x^{3}+x^{2}}=0$