Question

lim h tendendo a zero (x+h)^2 - x^2 / h

Answer 1

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$
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Primeira resolução:

Sabemos que a² - b² = (a + b)(a - b) (produto notável)

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h+x)\cdot(x+h-x)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(2x+h)\cdot h}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}(2x+h)\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=2x+0\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=2x}}$
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Segunda resolução:

Sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b². Logo:

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x^{2}+2\cdot x\cdot h+h^{2})-x^{2}}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{2xh+h^{2}}{h}$

Colocando h em evidência:

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{h\cdot(2x+h)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}(2x+h)\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=2x}}$
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Terceira resolução:

Definição de derivada de f(x) em x qualquer:

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

(Desde que o limite exista)

Veja que, se tivermos f(x) = x², então

$f(x+h)=(x+h)^{2}$

Então, a derivada de f(x) é dada por

$f'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$

Sabemos, pelas regras de derivação, que

$\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x$

Então:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=f'(x)=2x}}$
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Veja que a terceira resolução não é uma prova devida, já que ela utiliza uma regra de derivação que vem justamente desse limite para calculá-lo. Mas, ao avançar do curso, talvez notar que um limite pode ser escrito como a definição da derivada de uma função tenha utilidade (facilitaria a computação do limite)