Question

lim = cos (x)-1/x
x -> 0

alguem me ajuda pfv!

Answer 1

Note que esse limite é a definição da derivada de f(x) = cos(x) no ponto x = 1, já que

$f(x)=cos(x)~~\rightarrow~~f(0)=cos(0)=1$

e

$f'(0)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\left\dfrac{d}{dx}cos(x)\right|_{x=0}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=-sen(0)\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=0}}$
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Também podemos resolver esse limite sem noção de derivadas:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(cos~x-1)\cdot(cos~x+1)}{x\cdot(cos~x+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(cos~x)^{2}-1^{2}}{x(cos~x+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos^{2}x-1}{x(cos~x+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-(1-cos^{2}x)}{x(cos~x+1)}$

Como 1 - cos²x = sen²x (Relação fundamental da trigonometria):

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}-\dfrac{sen^{2}x}{x(cos~x+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{sen~x}{x}\cdot\dfrac{(-sen~x)}{cos~x+1}$

Como os dois limites existem (já que o primeiro é o limite fundamental e o segundo não chega em indeterminação quando substituimos x por 0), vale

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{sen~x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-sen~x}{cos~x+1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=1\cdot\dfrac{0}{0+1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=1\cdot0\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=0}}$
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Também poderíamos resolver rapidamente pela Regra de L'Hospital:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}$

Se fizermos substituição, chegaremos numa indeterminação do tipo 0/0. Portanto, podemos usar a regra de L'Hospital

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\frac{d}{dx}(cos~x-1)}{\frac{d}{dx}x}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-sen~x}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=-sen(0)\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x}=0}}$