Question

lim 3^t-1/t t tendo 0

Answer 1

Podemos resolver o problema de duas formas:

1) Aplicando a Regra de L'Hôpital:

$\lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{t\to0}\dfrac{3^t\ln(3)-0}{1}\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{t\to0}3^t\ln(3)\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=3^0\ln(3)\\\\ \boxed{\lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\ln(3)}$

2) Fazendo a substituição:

$3^t=u\Longrightarrow t=\log_3u\Longrightarrow t=\dfrac{\ln(u)}{\ln(3)}$
Quando $t\to0$, temos $u\to1$.

Na expressão do limite:

$\lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{u\to1}\dfrac{u-1}{\ln(u)/\ln(3)}\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{u\to1}\dfrac{u-1}{\ln(u)}\ln(3)$

Agora, vamos fazer outra substituição. Seja $x=u-1\Longrightarrow u=x+1$. Então, quando $u\to1$, temos $x\to0$. Logo:

$\lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{u\to1}\dfrac{u-1}{\ln(u)}\ln(3)\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\ln(x+1)}\ln(3)\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\ln(x+1)}{x}\right)^{-1}\ln(3)$

Conhecendo o limite fundamental $\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1$, podemos substituir na expressão obtida acima:

$\lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\ln(x+1)}{x}\right)^{-1}\ln(3)\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\lim_{x\to0}(1)^{-1}\ln(3)\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=(1)^{-1}\ln(3)\\\\ \lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=1\cdot\ln(3)\\\\ \boxed{\lim_{t\to0}\dfrac{3^t-1}{t}=\ln(3)}$