Question

Karla é aluna do 1º ano do Ensino Médio e está estudando função quadrática. Ela chegou em casa com uma dúvida sobre uma questão que o professor de matemática colocou no quadro. O pai dela prontificou-se em ajudá-la. O enunciado do problema era: “Dentre todos os retângulos de perímetro igual a 12cm qual é o de maior área?”. O pai de Karla ajudou a resolver o problema e ela encontrou como resposta um quadrilátero de lado, em centímetros, igual a:

a) 12
b) 10
c) 6
d) 5
e) 3
Gabarito alternativa E.
Alguém consegue me explicar com detalhes.

Answer 1

Resposta:

.  Um quadrado de lado igual a 3 cm

.    (opção:  e)

Explicação passo a passo:

.

VEJA:    dentre todos os retângulos de perímetro igual a K,  o de maior

.              área é aquele de lado igual a K / 4,  ou seja:  o de maior  área

é um quadrado de lado igual a K / 4.

.

.  Como o perímetro do retângulo é igual a 12 cm,  temos:

.

.   K  =  12 cm   ==>   lado do quadrado  =  12 cm / 4

.                                                                    =  3 cm

.   ENTÃO:   o de maior área é um quadrado de lado 3 cm    (tal ques-

.                    tão também pode ser resolvida através de uma equação

.   de segundo grau)

.

OBS:   todo quadrado é um retângulo.  

.

.      RESOLUÇÃO POR MEIO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU

.

.      Sejam  x  e  y  os lados do retângulo

.

.      Perímetro do retângulo =  12 cm

.

.      ==>   2 . (x  +  y)  =  12 cm                     (divide  por  2)

.      ==>   x  +  y  =  6 cm

.      ==>   y  =  6  -  x               ("esquece"  cm)

.

Área (A) do retângulo  =   x  .  y            (y  =  6  -  x)

.                                       =   x  . (6  -  x)

.                                       =   - x²  +  6x

A  =  - x²  +  6x       (a expressão da área é uma função de 2º grau da

.                                  forma:  ax²  +  bx  +  c)

.

TEMOS:    a = - 1  (coeficiente de x²),   b  =  6,   c  =  0

.

Como  a  =  - 1   <  0  ==>  a função tem VALOR MÁXIMO  e  seu grá-

.                                            fico é uma parábola de concavidade volta-

da para baixo.  O MÁXIMO  da função ocorre para:

.   x  =  - b / 2a

.       =  -  6 / 2 . (- 1)

.       =  - 6 / (- 2)

.       =  3                            y  =  6  -  x            (x  =  3)

.                                          y  =  6  -  3

.                                          y  =  3

.

ASSIM:   para  x  =  3   e   y  =  3  o  retângulo  dado é um quadrado de

.                                                         lado medindo  3  cm.

.                                

(Espero ter colaborado)