Question

João tem um sitio e quer cercar uma área retangular onde ele criará gado. Ele dispõe de material para fazer 512m de cerca, e quer instalá-la de modo que um dos lados da área cercada seja delimitado pelo rio que passa por seu sítio, para que os animais tenham acesso à água, como na figura.

Determine o comprimento x de modo que a área cercada seja máxima.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

É uma questão para maximizar a área. Vamos lá.

Primeiro o perímetro da área dada é definida pela seguinte relação :

$p = 2x + y \\ 512 = 2x + y$

A fórmula da área do retângulo é :

$a = x \times y$

Vamos isolar da primeira fórmula o y

$y = 512 - 2x$

Vamos substituir na fórmula da área.

$a = x \times (512 - 2x) \\ a = 512x - 2x {}^{2}$

vamos agora derivar a função área

$a {}^{)} = 512 - 4x$

Vamos igualar a zero

$512 - 4x = 0 \\ - 4x = - 512 \\ x = \frac{ - 512}{ - 4} \\ x = 128$

Portanto este é valor de x que maximizar a área.

Answer 2

O comprimento x de modo que a área cercada seja máxima é 128.

Vamos considerar que a largura do retângulo seja igual a y. Como o João dispõe de 512 metros de cerca, então temos a seguinte equação:

x + x + y = 512

2x + y = 512

y = 512 - 2x.

A área de um retângulo é igual ao produto do comprimento pela largura. Sendo assim, a área do terreno do João é igual a:

S = x.y.

Mas, vimos acima que y = 512 - 2x. Então:

S = x.(512 - 2x)

S = 512x - 2x².

Temos aqui uma função do segundo grau. Vamos calcular o vértice dessa função. Lembre-se que:

• $V=(-\frac{b}{2a},-\frac{(b^2-4ac)}{4a})$.

Veja que a = -2, b = 512 e c = 0. Logo:

$V=(-\frac{512}{2.(-2)},-\frac{(512^2-4.(-2).0)}{4.(-2)})\\V=(\frac{512}{4},\frac{262144}{8})\\V=(128,32768)$.

Portanto, a área será máxima quando x = 128.

Para mais informações sobre área máxima, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/23398879