Question

João, precisa calcular as dimensões de uma casa, que apresenta sua planta de forma retangular. Ele sabe que o perímetro da casa deve medir 40m.Qual alternativa que apresenta as dimensões do retângulo sabendo que a área deve ser máxima.
14m e 6m
13m e 7m
12m e 8m
11m e 9m
10m e 10m

Answer 1

Ao ler o problema, já é possível identificar que se trata de uma modelagem de problemas que envolvem máximos e mínimos de uma função, portanto utilizarei derivadas.

Direto ao ponto:

I) Modelando o problema:

Com os dados fornecidos no enunciado temos as seguintes informações,

Precisamos de uma forma retangular, portanto já podemos dizer que:

A (Área do retângulo) = b (base)  x  h (altura)

Perímetro = 2b x 2h

Substituindo valores, temos

Perímetro = 40,

40 = 2b x 2h

A = b x h

II) Definindo variáveis que serão utilizada:

Para resolução desse problema devemos deixar em função de uma variável, para isso utilizaremos a equação do perímetro e isolaremos uma variável

( OBS: No caso isolarei a base, mas poderia ser a base também que não interferiria na resposta final)

40 = 2b × 2h

2b = 40 - 2h

b = $\frac{40-2h}{2}$

b = 20 - h

III) Candidatos que podem assumir valores para maximizar a Área:

Substituindo o valor que encontramos de h, na equação inicial da Área:

A = b × h

A(h) = (20 - h) × h

A(h) = 20h - h²

Para acharmos candidatos temos que nos atentar as condições:

Para candidatos de mínimo e máximo deve-se analisar os extremos do domínio da função:

Domínio de  A:

Por se tratar de uma medida, não é possível encontrar valores menores que 0, então,

A(h) ≥ 0

20h - h² ≥ 0

Encontrando as raízes dessa equação de segundo grau:

1ª raiz,

h₁ =$\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$  

h₁ = $\frac{-20+\sqrt{20^2 - 4.(-1).0} }{2(-1)}$ ;

h₁ = $\frac{-20+\sqrt{400 - 0} }{-2}$;

h₁ = $\frac{-20+\sqrt{400} }{-2}$ ;

h₁ = $\frac{-20+20 }{-2}$;

h₁ = $\frac{0}{-2}$ ;

h₁ = 0 ;

Segunda raíz:

h₂ = $\frac{-20-\sqrt{400} }{-2}$ ;

h₂ = $\frac{-20-20 }{-2}$ ;

h₂ = $\frac{-40}{-2}$ ;

h₂ = 20 ;

Pronto, agora sabemos o Domínio da função :

Dom A [0,20];

Como os candidatos são os extremos do Domínio, então 0 e 20 são candidatos para a finalização do problema.

Quando a derivada de A(h) é igual a 0, ou

Quando a derivada de  A(h) não existe;

Por se tratar de um polinômio, a derivada sempre existe, então vamos analisar quando a derivada é igual a 0:

[A(h)]' = (20h - h²)' = 0 ;

[A(h)]' = 20 - 2h = 0 ;

h = 10 ;

Pronto agora temos 3 candidatos que podem maximizar a nossa função:

0 , 10 e 20.

IV) Testanto candidatos

Testanto com o 0:

A(0) = 20×0 - 0²

A(0) = 0 ;

Testando com o 10:

A(10) = 20×10 - 10²

A(10) = 200 - 100

A(10) = 100 ;

Testando com o 20:

A(20) = 20×20 - 20²

A(20) = 400 - 400

A(20) = 0 ;

Agora analisando os valores adquiridos vemos que quando a altura é 10, temos o maior valor, então chegamos no valor em que h = 10,

h = 10 ⇒ b = 20 - 10 = 10  ,

∴ h=10 e b = 10 ,  logo suas dimensões devem ser de 10m x 10m